2.3. Приклади задач

1. Рівномірний прямолінійний рух.

Дві матеріальні точки рухаються вздовж вісі абсцис рівномірно зі швидкістю та . В початковий момент перша точка знаходилась ліворуч від початку координат на відстані 21 м, друга праворуч на відстані 7 м. Через який час перша точка дожене другу? Де це проходитиме. Намалюйте графік руху.

Д

Розв’язок:

- рівняння рівномірного руху.

- рівняння руху першої точки.

- рівняння руху другої точки. Знайдемо час, коли вони зустрінуться. Тоді буде виконуватись умова:

Знайдемо координату зустрічі (покладемо в довільне рівняння руху)

ано:

Відповідь:

2. Рівнозмінний прямолінійний рух.

Мотоцикліст почав рухатись. На протязі 20 с рухався з прискоренням 1,5 м/с², тоді 2 хвилини рухався рівномірно, а потім рівномірно гальмував на протязі 15 с і зупинився. Знайти максимальну швидкість, прискорення при гальмуванні та шлях.

Д

Розв’язок:

Розіб’ємо шлях на 3 частини. Спочатку рух був рівноприскореним 

Другу частину шляху мотоцикліст

Рухався рівномірно зі швидкістю 30 м/с. Третю частину шляху він гальмував.

ано:

Знайдемо прискорення при гальмуванні; використовуючи  Знайдемо весь шлях:

.

Відповідь:

3. Вільне падіння тіл

Тіло, що падає без початкової швидкості, за останні 2 с пройшло відстань 8 = 40 м. Який час і тривало падіння та з якої висоти падало тіло?

Розв'язок:

Позначимо т інтервал часу, за який тіло пройшло останню ділянку шляху (τ = 2 с). Перша ділянка завдовжки Н-s тіло пройшла за час t - τ, рухаючись без початкової швидкості, тому

Віднімаючи це рівняння від рівняння дістаємо: звідки обчислюємо . Підставляючи знайдений вираз для у формулу, отримуємо:

Використовуючи подані в умові числові дані, дістаємо: t = 3 с, Н = 45 м.

Час падіння можна обчислити й простіше, якщо скористатися тим, що середня швидкість у разі рівноприскореного руху дорівнює середньому арифметичному початкової та кінцевої швидкостей. Останню ділянку довжиною s тіло проходить за час, тому середня швидкість на цій ділянці —

З іншого боку, початкова швидкість на цій ділянці дорівнює υ₀ = g(t – τ), а кінцева швидкість при цьому дорівнює υ = gt, тому

Отже, . Звідси дістаємо:

4. Рух тіла під дією кількох сил

1. Собача запряжка починає тягти санки масою 100 кг, що стоять на снігові, з постійною силою 150 Н. За який проміжок часу санки проїдуть перші 200 м шляху? Уважайте, що коефіцієнт тертя ковзання полоззя об сніг дорівнює 0,05.

Розв'язок:

Щоб обчислити час руху санок, необхідно знати прискорення, з яким рухаються санки, і початкову швидкість. Оскільки санки рушають з місця, то їхня початкова швидкість дорівнює нулю. Прискорення обчислимо, скориставшись другим законом Ньютона.

На санки діють чотири сили: сила тяжіння тg, сила реакції опори N, сила тяги собак F_Т і сила тертя ковзання F_{терт.ковз}.

Запишемо другий закон Ньютона:

Спроектуємо рівняння на осі координат і запишемо вираз для сили тертя:

Ми отримали систему трьох рівнянь з трьома невідомими. Розв'язавши цю систему, ми й дістанемо прискорення:

Підставивши отриманий вираз у перше рівняння, дістаємо:

Для обчислення часу руху скористаємося рівнянням проекції переміщення для рівноприскореного руху:

У нашому випадку:

Підставляючи сюди значення прискорення, дістаємо:

Перевіряємо одиниці величин:

Виконуємо обчислення:

Відповідь: санки проїдуть перші 200 м за 20 с

2. Автомобіль масою 4 т рухається нагору, уповільнюючи свій рух. Обчисліть силу тяги, якщо ухил становить 0,02, а коефіцієнт опору руху дорівнює 0,04. Прискорення автомобіля постійне й дорівнює 0,15 м/с2.