32. Метод обрахунку, оснований на розкладі в ряд за параметрами.

Підбираються параметри з певним ступенем точності: замість оптимальних значень a,b,c використовують a₀, b₀, c₀ …

Далі за МНК визначають поправки Δa, Δb, Δc, які вважаються малими у порівнянні з самими параметрами. Різницю між точним y_i = (a, b, c…x_i) і наближеним y_i⁰ = (a₀, b₀, c₀…x_i) значеннями функції розкладають в ряд за поправками до параметрів. Зважаючи мале значення поправок, залишають лише перші ступені розкладу:

Наприклад: Маємо лінійну залежність y = ax+b. Проводимо наближену пряму y₀ = a₀x+b₀ через дві крайні точки. Рівняння прямої з координатами (x_1;y₁) (x_2;y₂):

При невідомих і відомих точках x_1;y₁;x_2;y₂ отримуємо рівняння y_0=-a₀+b_0. Далі виражаємо з рівняння і підставляємо відповідні значення для кожної точки.

Для рівняння кривої часткові похідні дорівнюють:

. Тоді Δy = xΔa + Δb. І за МНК шукаємо значення Δa і Δb.

Самі значення a і b будуть дорівнювати a₀ + Δa і b₀ + Δb відповідно.

33. Оцінка надійності параметрів.

Після знаходження значень параметрів a, b, c, … необхідно оцінити їх точність, надійсніть.

На прикладі лінійної функції виведемо формулу для оцінки середньоквадратичної похибки параметра.

де S – розрахована сума нев’язок; n - число експериментальних точок; m - число параметрів. Величину S можна розрахувати безпосередньо за формулою , але можна використовувати для розрахунку S вже розраховані значенння сум. А у випадку полінома n-степеня (можна не писати як це все виводиться):

Для подальших розрахунків врахуємо, що при оптимальних значеннях параметрів

Тоді

34. Обрахунок , , , .

Після знаходження значень параметрів a, b, c, … необхідно оцінити їх точність, надійсніть. На прикладі параболи виведемо формулу для оцінки середньоквадратичної похибки параметра.

Вводимо детермінант

- містить лише значення аргументу і, відповідно вільний від помилок

Оскільки згідно умови методу МНК всі помилки зосереджені на вункції у, то для них необхідно детально розглянути детермінант

[x⁴] [x²y] [x²]

D_b= [x³] [xy] [x]

[x²] [y] n

[x⁴] [x_i²] [x²]

[x³] [x_i] [x]

[x²] 1 n

_b=

[x⁴] [x²] [x⁴] 0 [x²]

= [x³] [x] = [x³] D [x]

[x²] n [x²] 0 n

= 0

35. Обрахунок суми квадратів нев’язок.

Якщо позначити суму квадратів нев’язок через S і врахувати рівняння =min, то отримаємо результат: ² = min.

Величину S можна визначити за даною формулою безпосередньо, але можна використовувати для розрахунку S вже розраховані значення сум. Виведемо формулу для розрахунку S у випадку полінома n степеня:

² = ² =

= =

= =

=

Для подальшого виведення врахуємо, що при оптимальних значеннях параметрів:

тощо.

Тоді:

Для лінійної залежності(n=1):

36. Центральний змішаний момент. Статистичний аналог центрального змішаного моменту.

D[x+y]=D[x]+D[y]

D[x+y]=|D=(x_i-m_x)²p=M[x_i-m_x]²|=M{(x+y)-M(x+y)}²=M{(x+y)²-2(x+y)(m_x+m_y)+(m_x+m_y)²}=M{x²+2xy+y²-2xm_x-2xm_y-2ym_x-2ym_y+m_x²+2m_x m_y+m_y²}=M{(x²-2xm_x+m_x²)+(y²-2ym_y+m_y²)+2(xy-xm_y-ym_x+m_x m_y)}=M{(x-m_x)²+(y-m_y)²+2(x(y-m_y)-m_x(y-m_y))}=M{(x-m_x)²+(y-m_y)²+2(x-m_x)(y-m_y)}=M(x-m_x)²+M(y-m_y)²+2M{ (x-m_x)(y-m_y) }=D_x+D_y+2K_xy

У випадку незалежних випадкових величин: ху=0 де К_xy=М(x-m_x)(y-m_y)=M(x-m_x)M(y-m_y)=(m_x-m_x)(m_y-m_y)=0- центральний змішаний момент(або кореляційний момент)

М(ху)=М(х)М(у)

M(m_x)=m_x

Якщо К_xy0, то це є свідченням наявності зв’язку між x та y.

На практиці замість К_xy використовують статистичний аналог центрального змішаного моменту: