Теорема о наложении частных решений.
Пусть - решение неоднородного уравнения с правой частью ,
- решение неоднородного уравнения с правой частью . Тогда - решение неоднородного уравнения с правой частью .
Доказательство. Подставим в неоднородное уравнение:
.
24Билет
Метод вариации произвольных постоянных для нахождения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка.
Существует два метода решения линейного уравнения: метод вариации произвольной постоянной и метод подстановки.
При решении методом вариации произвольной постоянной сначала решают однородное уравнение (с нулевой правой частью)
Это – уравнение с разделяющимися переменными.
.
Затем
варьируют произвольную постоянную,
полагая
.
.
Подставляем в неоднородное уравнение:
.
При вариации произвольной постоянной здесь обязательно должны сократиться два члена, в этом идея метода.
,
где С – произвольная постоянная.
.
Видно, что общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Это справедливо не только для линейных уравнений первого порядка, но и для линейных уравнений высших порядков, и для линейных систем. Там подобное утверждение называется теоремой о структуре общего решения неоднородного уравнения или системы.
Замечание.
Решая уравнение методом вариации,
обязательно приводите его к виду
(если при
стоит
коэффициент, то делить на него
обязательно), иначе метод вариации даст
ошибку.