Билет 1
Линейная зависимость и независимость.
Функции
называются линейно
независимыми,
если
(допустима только
тривиальная линейная комбинация
функций, тождественно равная нулю). В
отличие от линейной независимости
векторов здесь тождество линейной
комбинации нулю, а не равенство. Это и
понятно, так как равенство линейной
комбинации нулю должно быть выполнено
при любом значении аргумента.
Функции
называются линейно
зависимыми,
если существует не нулевой набор
констант (не все константы равны нулю)
,
такой что
(существует нетривиальная линейная
комбинация функций, тождественно равная
нулю).
Определитель Вронского.
Определитель
Вронского для функций
вводится как определитель, столбцами
которого являются производные этих
функций от нулевого (сами функции) до
n-1
го порядка.
.
Теорема.
Если функции
линейно зависимы, то
Доказательство. Так как функции линейно зависимы, то какая-либо из них линейно выражается через остальные, например,
.
Тождество можно дифференцировать,
поэтому
.
Тогда первый столбец определителя
Вронского линейно выражается через
остальные столбцы, поэтому определитель
Вронского тождественно равен нулю.
Теорема. Для того, чтобы решения линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы .
Доказательство. Необходимость следует из предыдущей теоремы.
Достаточность.
Зафиксируем некоторую точку
.
Так как
,
то столбцы определителя, вычисленные
в этой точке, представляют собой линейно
зависимые векторы.
,
что выполнены соотношения
.
Так как линейная комбинация решений линейного однородного уравнения является его решением, то можно ввести решение вида
- линейную комбинацию
решений с теми же коэффициентами.
Заметим,
что при
это решение удовлетворяет нулевым
начальным условиям, это следует из
выписанной выше системы уравнений. Но
тривиальное решение линейного однородного
уравнения тоже удовлетворяет тем же
нулевым начальным условиям. Поэтому
из теоремы Коши следует, что введенное
решение тождественно равно тривиальному,
следовательно,
,
поэтому решения линейно зависимы.
Билет 2
Теорема. Если функции линейно зависимы, то
Доказательство. Так как функции линейно зависимы, то какая-либо из них линейно выражается через остальные, например,
. Тождество можно дифференцировать, поэтому
. Тогда первый столбец определителя Вронского линейно выражается через остальные столбцы, поэтому определитель Вронского тождественно равен нулю.
Теорема. Для того, чтобы решения линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы .
Доказательство. Необходимость следует из предыдущей теоремы.
Достаточность. Зафиксируем некоторую точку . Так как , то столбцы определителя, вычисленные в этой точке, представляют собой линейно зависимые векторы.
, что выполнены соотношения
.
Так как линейная комбинация решений линейного однородного уравнения является его решением, то можно ввести решение вида
- линейную комбинацию решений с теми же коэффициентами.
Заметим, что при это решение удовлетворяет нулевым начальным условиям, это следует из выписанной выше системы уравнений. Но тривиальное решение линейного однородного уравнения тоже удовлетворяет тем же нулевым начальным условиям. Поэтому из теоремы Коши следует, что введенное решение тождественно равно тривиальному, следовательно,
,
поэтому решения линейно зависимы.
Следствие. Если определитель Вронского, построенный на решениях линейного однородного уравнения, обращается в нуль хотя бы в одной точке, то он тождественно равен нулю.
Доказательство. Если , то решения линейно зависимы, следовательно, .
Теорема. 1. Для линейной зависимости решений необходимо и достаточно (или ).
2. Для линейной независимости решений необходимо и достаточно .
Доказательство. Первое утверждение следует из доказанной выше теоремы и следствия. Второе утверждение легко доказывается от противного.
Пусть
решения линейно независимы. Если
,
то решения линейно зависимы. Противоречие.
Следовательно,
.
Пусть . Если решения линейно зависимы, то , следовательно, , противоречие. Поэтому решения линейно независимы.
Следствие. Обращение определителя Вронского в нуль хотя бы в одной точке является критерием линейной зависимости решений линейного однородного уравнения.
Билет 3
Определение фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка. Доказать теорему о существовании фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального уравнения.
Любые n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка представляют собой базис пространства решений или фундаментальную систему решений.
Теорема о существовании фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального равнения. Любое линейное однородное дифференциальное уравнение n -го порядка с непрерывными коэффициентами имеет фундаментальную систему решений, т.е. систему из n линейно независимых решений. Док-во. Возьмём любой числовой определитель n -го порядка, не равный нулю
|
Возьмём любую
точку
сформулируем n задач Коши, причём начальные условия в точке x0 для i-ой задачи возьмём из i-го столбца этого определителя: |
||
L |
L |
L |
|
и
n(y1)
= 0;
n(y2)
= 0;
n(yn)
= 0;
Пусть y1(x), y2(x), …, yn(x) - решения этих задач. Эта система линейно независима на (a, b), так как её определитель Вронского в точке x0 равен взятому числовому определителю и отличен от нуля, следовательно, это фундаментальная система решений. Теорема доказана.
Размерность линейного пространства частных решений однородного уравнения с непрерывными коэффициентами равна n, и базисом в этом пространстве служит любая фундаментальная система решений
Билет 4
Доказать теорему о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка.
Общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма частного решения линейного неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.
.
Доказательство. Покажем, что - общее решение неоднородного уравнения.
- решение неоднородного уравнения как сумма решений однородного и неоднородного уравнений (теоремы о свойствах решений).
Зададим произвольные начальные условия ,
.
Вычислим начальные условия для
выбранного частного решения неоднородного
уравнения
.
Получим систему линейных алгебраических
уравнений для определения констант:
.
.
.
.
Определитель
этой системы – определитель Вронского.
Он не равен нулю, так как решения
линейно независимы. Поэтому константы
определяются из этой системы по начальным
условиям – правым частям системы
единственным образом. Следовательно,
- общее решение неоднородного уравнения.
Билет 5
Вывести формулу Остроградского-Леувилля.
Рассмотрим линейное однородное уравнение
.
Определитель Вронского можно вычислить по формуле Остроградского – Лиувилля
.
Вывод формулы Остроградского – Лиувилля.
Известна формула для производной определителя
.
Вычислим
...+
0+...+0+
=
.
,
.
Замечание. В формуле Остроградского – Лиувилля участвуют только коэффициенты при двух старших производных.
Рассмотрим частный случай уравнения второго порядка.
.
Здесь формулу Остроградского – Лиувилля
можно вывести проще. Рассмотрим
- два частных решения
.
,
.
Умножим первое уравнение на
,
а второе на
и вычтем первое уравнение из второго.
.
Так
как
,
то
=
.
Теперь уравнение
можно переписать в виде
.
Решая это уравнение с разделяющимися
переменными, получаем формулу
Остроградского – Лиувилля
Билет 6
Построение общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка в случае действительных различных корней характеристического уравнения (с выводом).
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка
.
Будем
искать его решение в виде
.
Подставляя
в дифференциальное уравнение, получим
Так
как
то имеем
- характеристическое
уравнение.
Решая его, получим корни
.
Возможно три случая:
1)
действительны
и различны,
2)
- комплексно сопряженные корни,
3)
- действительный кратный корень.
В случае действительных, различных корней получаем решения
.
Для того, чтобы доказать, что решения составляют фундаментальную систему решений и общее решение записывается в виде
,
надо
проверить линейную независимость
.
Составим определитель Вронского
,
так как
.
Заметим,
что для уравнения второго порядка
проверять линейную независимость можно
проще. Надо показать, что
.
Тогда столбцы определителя Вронского
линейно независимы и
.
В нашем случае
при
.
7Билет
Построение общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае действительных кратных корней характеристического уравнения (с выводом).
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка
.
Будем искать его решение в виде . Подставляя y в дифференциальное уравнение, получим
Так как то имеем
- характеристическое уравнение. Решая его, получим корни
.
Возможно три случая:
1) действительны и различны,
2) - комплексно сопряженные корни,
3) - действительный кратный корень.
В
случае кратного
действительного корня
одно из
решений можно выбрать в форме
.
Второе
решение будем выбирать в виде
.
Подставим в дифференциальное уравнение,
чтобы определить
.
,
Так
как
- корень характеристического уравнения,
то
.
Так как
еще и кратный корень, то по теореме
Виета
.
Поэтому
.
Для определения
имеем уравнение
,
отсюда
.
Выберем
,
получим
.
Следовательно,
.
Решения
линейно
независимы, так как
.
Поэтому общее решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае кратного корня можно записать по формуле
.
8Билет
Построение общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае комплексных сопряженных корней характеристического уравнения.
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка
.
Будем искать его решение в виде . Подставляя в дифференциальное уравнение, получим
Так как то имеем
- характеристическое уравнение. Решая его, получим корни
.
Возможно три случая:
1) действительны и различны,
2) - комплексно сопряженные корни,
3) - действительный кратный корень.
В
случае комплексно
сопряженных корней
,
применяя формулу Эйлера
получим
комплексно сопряженные решения
.
Так
как линейная комбинация решений
линейного однородного уравнения тоже
является решением, то
являются решениями. Они линейно независимы, так как
.
Следовательно, общее решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае комплексных корней можно записать по формуле
.
9Билет
Доказать теорему о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка.
Общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма частного решения линейного неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.
.
Доказательство. Покажем, что - общее решение неоднородного уравнения.
- решение неоднородного уравнения как сумма решений однородного и неоднородного уравнений (теоремы о свойствах решений).
Зададим произвольные начальные условия , . Вычислим начальные условия для выбранного частного решения неоднородного уравнения . Получим систему линейных алгебраических уравнений для определения констант:
.
.
.
.
Определитель этой системы – определитель Вронского. Он не равен нулю, так как решения линейно независимы. Поэтому константы определяются из этой системы по начальным условиям – правым частям системы единственным образом. Следовательно, - общее решение неоднородного уравнения.
10Билет
Доказать теоремы о свойствах частных решений линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка.
.