3.Законы сохранения Примеры решения задач

Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса являются наиболее общими (фундаментальными) законами физики, которым подчиняются все известные современной физике явления природы.

Решение динамических задач часто облегчается использованием законов сохранения, например в задачах о движении космических аппаратов.

Законы сохранения энергии и импульса являются единственным средством теоретического анализа процессов столкновения и распада тел (частиц), когда характер действующих сил неизвестен.

Результаты столкновения могут быть самыми разнообразными: тела могут соединяться в одно тело (абсолютно неупругий удар), тела могут расходиться без изменения своего внутреннего состояния (абсолютно упругий удар), могут возникнуть новые тела. Столкновение макротел всегда является в той или иной степени неупругим, однако в области атомной, ядерной физики и процессов с элементарными частицами понятие об упругом ударе играет важную роль, так как благодаря дискретному характеру энергетического спектра сталкивающихся частиц их внутреннее состояние либо не меняется вообще (упругий удар), либо скачком изменяется на конечную величину.

При распаде тел (частиц) наблюдается частичное превращение внутренней энергии в кинетическую энергию продуктов распада.

Задача 19. На неподвижный бильярдный шар налетает другой. Найдите угол разлета шаров после нецентрального столкновения. От чего зависит направление движения каждого шара после столкновения?

Решение. Столкновение называется нецентральным, если направление движения центра налетающего шара не совпадает с прямой, соединяющей центры шаров. Расстояние между указанными прямыми называется прицельным.

Примем столкновение между шарами абсолютно упругим. Тогда для сталкивающихся шаров можно записать закон сохранения импульса и энергии в следующем виде:

,

,

где – импульс и кинетическая энергия налетающего шара до столкновения, – импульс и кинетическая энергия налетающего шара после столкновения, – импульс и кинетическая энергия неподвижного шара после столкновения.

Как следствие из закона сохранения механической энергии, получается следующее соотношение для импульсов шаров:

.

Возведем в квадрат уравнение для импульсов:

.

Законы сохранения импульса и энергии совместимы, если скалярное произведение импульсов шаров после столкновения равно нулю:

.

Так как Р₁ ≠ 0, Р₂ ≠ 0, то cosα=0. Откуда следует, что .

П осле нецентрального упругого столкновения бильярдные шары разлетаются под прямым углом.

Направление движения каждого шара после столкновения определяется прицельным растоянием а (см. рисунок).

Из рисунка видно, что направление движения первоначально неподвижного шара после столкновения составляет угол

с направлением движения налетающего шара (R – радиус шара).

Задача 20. Два шара c массами m₁=1,2кг и m₂=2,1кг движется со скоростями u₁=5,6м/с иu₂=2,7м/с соответственно по прямой, соединяющей их центры. С первым шаром связана легкая пружина жесткостью k=12кН/м. Определите максимальное сжатие пружины при столкновении шаров.

Решение. Воспользуемся ИСО, связанной с центром масс шаров.

Скорость центра масс равна

а импульсы шаров в ИСО центра масс равны

p₁=m₁(u₁-U)=m(u₁-u₂),

p₂=m₂(u₂-U)=-m(u₁-u₂),

где

Кинетическая энергия шаров до столкновения равна

Так как в процессе столкновения механическая энергия системы сохраняется,

то, очевидно, максимальная потенциальная энергия деформации пружины равна начальной кинетической энергии шаров (К=0):

Откуда получаем

З адача21.В тело массой m₂=2,5кг, подвешенное на нерастяжи­мой нити длиной l=1,1м, попадает горизонтально летящее тело массой m₁=1,5кг и слипается с ним. Определите начальную скорость налетающего тела u₀ (м/с), если нить отклонилась на угол α=40˚ от положения равновесия.

Решение. Столкновение явля­ется абсолютно неупругим. Пренебрегая временем столкновения, можно записать

Р₀=Р,

где Р₀=m_1u0 , P=(m₁+m₂)u (u – скорость тел после столкновения).

Сохраняется ли механическая энергия системы при неупругом столкновении тел?

Найдем значение кинетической энергии системы после столкновения:

,

где – кинетическая энергия налетающего тела.

При неупругом столкновении часть или вся кинетическая энергия системы переходит во внутреннюю энергию сталкивающихся тел:

.

Как видно, относительная доля превращающейся энергии определяется отношением масс сталкивающихся тел:

.

После столкновения система тел поднимается на высоту h (см. рисунок), которая связана с углом отклонения a следующим соотношением:

. (1)

Очевидно, высота h будет определяться величиной кинетической энергии системы после столкновения и сопротивлением воздуха.

Пренебрегая сопротивлением воздуха, для оценки высоты h проще воспользоваться законом сохранения механической энергии:

К₁+П₁=К₂+П₂.

Так как

К₂=0, П₂-П₁=(m₁+m₂)gh,

,

для высоты h получаем:

. (2)

Приравняв выражения (1) и (2), находим

=3,6м/с.

Как следствие из последнего соотношения, получается расчетная формула для экспериментального определения скорости пули методом баллистического маятника:

,

где S – горизонтальное смещение маятника, M – масса маятника, m – масса пули.

Задача 22. По гладкой горизонтальной поверхности движется тело массой m₁=1,5кг со скоростью u₁=12м/с и сталкивается с неподвижным телом массой m₂=2,5кг. При столкновении выделяется теплота Q=34Дж. Определите скорость тел после столкновения.

Решение. Сначала выясним, не является ли столкновение абсолютно неупругим. Найдем количество теплоты, которое выделяется при абсолютно неупругом столкновении (см. задачу 21):

=67,5Дж.

Т.к. Q<Q_н, то это означает, что при столкновении тела не слипаются.

Динамическое решение проблемы невозможно из-за отсутствия сведений о характере силового взаимодействия во время столкновения тел. В этих условиях продвинуться в разрешении проблемы помогают фундаментальные законы сохранения.

Запишем законы сохранения импульса и энергии для неупругого центрального столкновения тел:

,

,

где , , , , , ( и – скорости тел после столкновения).

Уравнения сохранения содержат неизвестные значения и (импульсы тел после столкновения). Таким образом, проблема сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными величинами.

Представим систему уравнений в безразмерной форме:

,

,

где , , , .

Решив систему уравнений, для неизвестных значений и получим:

,

.

Для численных значений в условии задачи

;

;

;

.

Скорости тел после столкновения равны

=12(-0,065)=-0,78м/с;

=12×0,6×1,065=7,7м/с.

Полученное решение содержит предельные случаи абсолютно упругого столкновения ( ) и абсолютно неупругого столкновения ( ). Убедитесь в этом самостоятельно.

Задача 23. На гладкой горизонтальной поверхности находятся два тела массами m₁ и m₂ (m₁=km₂), между которыми зажата легкая пружина. Горизонтальная поверхность плавно переходит в гладкие горки (см. рисунок). Определите отношение высот подъёма тел h₂/h₁ после распрямления пружины, если k=2.

Решение. Высота, на которую поднимается тело в отсутствие трения и сопротивления воздуха, однозначно определяется началь­ной к инетической энергией, кото­рую оно приобретает при распрям­лении пружины, как следствие закона сохранения механической энер­гии:

К₀+П₀=К+П.

В максимальной точке подъёма К=0. Поэтому начальная кинетическая энергия равна

К₀=П – П₀=mgh.

Откуда

.

При распрямлении пружины импульсы, получаемые телами, равны по величине в соответствии с законом сохранения импульса.

Поэтому

.

Задача 24. На горизонтальной поверхности находятся два тела массами m₁ и m₂ (m₁>m₂), между которыми зажата легкая пружина жесткостью k. Сравните пути, пройденные телами после распрямления пружины, S₁ и S₂ ,если коэффициенты трения между телами и горизонтальной поверхностью одинаковы и равны µ.

Р ешение. Проанализируем физическую ситуацию. Каждое из тел находится под воздействием четырех сил: силы тяжести

, силы реакции , силы трения покоя F_тр=mN и упругой силы со стороны пружины F=kDx₀, где – начальная деформация пружины.

Рассмотрим возможные случаи.

1. Если kDx_0<mm₂g, то система будет находиться в состоянии покоя, так как упругой силы недостаточно, чтобы сдвинуть тела.

2. Если выполнено условиеmm₁g>kDx_0>mm₂g, то первое тело остаётся в состоянии покоя, второе тело придёт в движение.

3. Если kDx_0>mm₁g, в движение придут оба тела.

4. При kDx_0>>mm₁g можно пренебречь действием силы трения в процессе распрямления пружины. Начальные импульсы тел после рас­прямления пружины будут приблизительно одинаковы по величине.

Движение тел после распрямления пружины происходит под действием силы трения. Длину тормозного пути S можно оценить, воспользовавшись теоремой о кинетической энергии

К-К₀=А_тр=-mmgS.

Откуда для тормозного пути получаем

,

так как в момент остановки К=0, а начальная кинетическая энергия тела после растяжения пружины равна

,

где P₀ – импульс тела после распрямления пружины.

Таким образом, S~ при равенстве импульсов и коэффициентов трения. Следовательно, S₁<S₂ при m₁>m₂.

Задача 25. Растяжение страховой веревки подчиняется закону Гука, пока относительное растяжение не превышает значения ε₀=0,2 (момент обрыва). Оцените минимальную прочность страховой ве­рёвки, при которой альпинист может уцелеть при падении с высоты l. Масса альпиниста равна m=77кг. Сопротивлением воздуха пренеб­речь.

Решение. При падении альпиниста страховая верёвка удерживает его в положении В. При этом верёвка удлиняется на величину Δl, и общая вы­сота падения альпиниста равна 2l+Δl. В положе­ниях А и В скорость альпиниста равна нулю. При падении потенциальная энергия альпиниста уменьшается, и при этом увеличивается потенци­альная энергия удлиняющейся верёвки:

.

Выразим коэффициент упругости верёвки k из закона Гука для предельного значения F_пр=kDl_пр=ke₀l и подставим его в выражение для закона сохранения энергии

,

где .

Поделив последнее уравнение на l² и учитывая, что , получаем квадратное уравнение относительно ε:

,

положительный корень которого равен

.

Относительное удлинение верёвки ε не должно превышать предельного значения ε₀.

Приравняв в последнем соотношении ε=ε₀, найдем значение для минимальной прочности веревки

.

Задача 26. Шарик массой m=12г, летящий горизонтально со скоростью u₀=1,5м/с, сталкивается с покоящимся на горизонтальной поверхности телом массой М=120г. При скорости шарика u_m=0,85м/с тело сдвигается с места. Определите скорости шарика и тела после столкновения, считая удар упругим. Какое количество теплоты выделяется при столкновении?

Решение. Из условия задачи видно, что на тело действует сила трения. За время столкновения τ импульсы шарика и тела изменятся:

mu- mu₀=-Fτ,

МU=(F–F_mp)τ,

где u, U – скорости шарика и тела после столкновения, F – упругая сила, F_mp=μMg – сила трения.

Складывая уравнения, получим

МU+mu-mu₀=-μMgτ.

U=(u₀ –u )- μgτ. (1)

Время взаимодействия оценим из условия

2mu_m»F_тр^maxt=Mgmt.

Откуда

. (2)

Подставив (2) в (1), получаем

. (3)

В уравнении (3) U и u неизвестны. Второе уравнение получим из закона сохранения энергии:

,

где .

Таким образом, проблема сводится к решению системы уравнений:

Находим

, .

Количество выделившегося тепла

.

Вычисление:

=0,12м/с.

=-1,4м/с.

=1,2мДж.

Предельный переход u_m=0 (гладкая поверхность):

,

, Q=0.

Если при этом m=M, то U=u₀,, u=0.

Задача 27. Шайба плашмя падает на горизонтальную поверхность под углом α=45⁰ к вертикали. Под каким углом к вертикали шайба отскакивает от поверхности, если коэффициент трения между шайбой и поверхностью равен μ=0,3 и при ударе 10% её кинетической энергии превращается в теплоту.

Р ешение. В процессе столкновения на шайбу действуют сила реакции горизонтальной поверхности

, сила трения скольжения и сила тяжести . Запишем основной закон динамики:

.

Учитывая, что время столкновения τ мало, и пренебрегая силой тяжести в сравнении с силой реакции (mg<<N), представим основное уравнение динамики в проекциях на коор­динатные оси:

,

где .

Исключая из скалярных уравнений N, получаем

. (1)

В этом соотношении две величины u и b неизвестны.

Недостающее соотношение получим из закона сохранения энергии. Выделяющаяся при столкновении теплота равна разности кинетических энергий до и после столкновения:

Q=K₀-K.

Так как

,

скорость шайбы после столкновения равна

. (2)

Из (1) и (2) следует:

.

Представим левую часть последнего уравнения как функцию tgβ:

.

После преобразования получаем квадратное уравнение относи­тельно tgβ

,

положительный ко­рень которого равен

.

Для численных значений в условии задачи находим

а=0,52, tgβ=0236, β=13⁰.

В предельном случае

ε=0, μ=0, β=α.

Угол отражения равен углу падения шайбы при абсолютно упругом столкновении с гладкой поверхностью.

Задача 28. Тело массой m₁=0,12кг, движущееся горизонтально со скоростью u₀=15м/с, сталкивается с покоящимся клином массой m₂=1,7кг. Клин может скользить без трения по горизонтальной поверхности. Определите скорость тела u(м/с) и скорость клина U(м/с) после столкновения, если коэффициент трения между телом и клином равен m=0,5, угол наклона клина к горизонту α=45⁰. Под каким углом β(град) тело отражается от поверхности клина?

Решение. Во время столкновения тело находится под действием сил трения , реакции клина и тяжести . Считая время столкновения τ малым, представим основное уравнение динамики для тела в импульсной форме:

,

или в проекциях на координатные оси:

, (1)

, (2)

где F_mp=μN.

Из (1) и (2) получаем

. (3)

Р ассмотрим движение клина. Он во время столкновения находится под действием сил трения

, реакции горизонтальной поверхности , нормального давления и тяжести .

Воспользуемся основным уравнением динамики для клина в импульсной форме:

.

Представляя векторное уравнение в проекциях на координатные оси и учитывая третий закон Ньютона ( , ), получим

, (4)

,

где , . (5)

Из (4) и (5) получаем

. (6)

Для малых τ из (6) и (3) находим

,

Таким образом, скорость тела и скорость клина U связаны соотношением:

. (7)

Дополнительное соотношение, связывающее скорости u и U, получим из закона сохранения энергии:

,

где .

Подставив значение u_x в выражение для ΔЕ, получаем

Из (7) и (8) находим

=1,5м/с.

=9,1м/с. Угол отражения β можно определить из соотношения

.

Откуда β=4,9⁰.

Предельные переходы.

1. Идеально гладкий клин (μ=0):

,

,

.

При α=90⁰ (центральное столкновение)

, .

tgβ=0, β=0.

В случае m₁=m₂ (центральное столкновение бильярдных шаров):

U=u₀,u=0.

2. m₁>>m₂, U=0:

,

tgβ=ctgα-2μ.

Для гладкого клина (μ=0):

U=0, u=u₀ ,

tgβ=ctgα, β=90–α.

З адача 29. Тело массой m=2,2кг с импульсом р=5,1кгм/с распадается на две одинаковые части. Определите минимальный угол разлёта частей тела φ_min (град), если при распаде выделяется энергия ΔЕ=2,5Дж.

Решение. В подобных задачах, когда неизвестен закон взаимодействия между частями тела, позитивный результат можно получить в рамках наиболее общих законов природы. К ним, в частности, относятся законы сохранения, связанные с фундаментальными свойствами пространства и времени.

Если действием силовых полей других частиц и тел на данную можно пренебречь, то для анализа процесса распада тела можно применить законы сохранения энергии и импульса в следующем виде:

,

,

где m₁=m₂= .

Возведем в квадрат векторное равенство

,

где – угол между разлетающимися частями тела.

Преобразуем систему уравнений относительно неизвестных р₁ и р₂ к виду, удобному для анализа:

,

.

Откуда можно сделать вывод, что угол разлёта принимает минимальное значение φ_min при равенстве модулей импульса разлетающихся частей тела р₁₌р₂, так как обе формулы симметричны относительно перестановки р₁ и р₂.

Импульсы частей тела при этом равны

,

а угол разлёта частей тела равен

=66⁰.

Рассмотрите предельные случаи и убедитесь в достоверности полученного решения.

Рассмотрим другое решение. В системе отсчета, связанной с центром инерции,

.

П ри т₁=т₂=

, ,

,

.

В лабораторной системе отсчета

, .

=2,3м/с.

=1,5м/с.

– угол разлета тел в лабораторной системе отсчета. Минимальный угол φ_min соответствует симметричному распаду:

,

,

.

Задача 30. На неподвижный невозбужденный атом водорода налетает невозбужденный атом гелия. Какова должна быть минимальная кинетическая энергия налетающего атома гелия К_min(эВ), чтобы в результате столкновения мог получиться фотон с энергией ε_ф=10,2эВ.

Решение. Законы сохранения энергии и импульса фактически являются единственным средством теоретического изучения процессов столкновения и распада тел (частиц), когда характер действующих сил неизвестен.

В рассматриваемой задаче законы столкновения для центрального столкновения следует записать в следующем виде:

,

,

где р₁ и – импульсы атома гелия до и после столкновения; – импульс возбужденного атома водорода после столкновения; ΔЕ – энергия возбуждения атома водорода, равная энергии излучаемого фотона ε_ф; – кинетическая энергия атома гелия до столкновения; – кинетическая энергия атома гелия после столкновения; – кинетическая энергия атома водорода после столкновения (m₁ и m₂ – массы атомов гелия и водорода соответственно).

Внутреннее состояние атома гелия можно считать не изменяющимся, так как для его возбуждения требуется энергия больше, чем для возбуждения атома водорода.

Из законов сохранения выразим связь между кинетической энергией гелия К₁ и кинетической энергией атома водорода :

.

Очевидно, что К₁ принимает минимальное значение, когда кинетическая энергия атома водорода минимальна.

Из условия экстремума

находим

,

.

С учетом того, что

,

окончательное решение принимает вид

51эВ.

Задача 31. Ракета стартует на полюсе с поверхности Земли вертикально вверх с начальной скоростью u₀=6,0км/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, оцените максимальную высоту подъёма ракеты. Принять ускорение свободного падения у поверхности Земли g=10м/с², радиус Земли R=6400км.

Решение. Эта идеализированная задача поучительна тем, что поле тяжести Земли нельзя считать однородным, так как ракета поднимается на высоту, сравнимую с радиусом Земли, и поэтому изменением силы тяжести с высотой пренебречь нельзя.

Свяжем систему координат с Землёй, считая её неподвижной и однородным шаром. Начало координат совместим с центром Земли.

В таком приближении движение ракеты описывается уравнением

,

где m – масса ракеты, М – масса Земли, r=R+h, R – радиус Земли, h – высота над поверхностью Земли.

Выразим правую часть уравнения, используя выражение для ускорения свободного падения у поверхности Земли и радиус Земли:

,

.

Умножим левую и правую часть уравнения на элементарное смещение dr. Учитывая, что

,

получаем

.

При движении в неоднородном поле тяжести Земли сохраняется механическая энергия ракеты

,

где – кинетическая энергия ракеты, – потенциальная энергия ракеты в неоднородном поле тяжести Земли.

Величина полной механической энергии ракеты определяется начальным условием u(R)=u₀:

.

Откуда находим зависимость скорости ракеты от высоты h:

.

Максимальной высоте подъёма соответствует u=0. Для h_max получаем

=2500км.

Рассмотрим предельные случаи.

Если (малые начальные скорости), получается формула расчета высоты подъёма в однородном поле тяжести Земли:

.

При h_max→ ∞, т.е. ракеты, преодолев земное притяжение, уходят в бесконечность. Скорость =11км/с называется второй космической скоростью.

Задача 32. В результате трения в верхних слоях атмосферы механическая энергия спутника Земли за много витков уменьшилась на 1%. Орбита спутника при этом осталась круговой. Как изменились параметры орбиты: радиус r, скорость спутника, период обращения Т?

Решение. В системе отсчета, связанной с Землёй, механическая энергия спутника равна сумме его кинетической энергии и потенциальной энергии взаимодействия с Землёй:

Е=К+П,

где , (m и u – масса и скорость спутника, r – радиус орбиты спутника, R – радиус Земли, g – ускорение свободного падения тел у поверхности Земли, М – масса Земли).

Так как спутник движется по круговой орбите, то величина его скорости связана с радиусом орбиты соотношением

.

Откуда следует, что

К=-П.

Таким образом, полная механическая энергия спутника, равная

,

является однозначной функцией радиуса орбиты.

Найдём связь между относительным изменением механической энергии и относительным изменением радиуса орбиты.

Продифференцируем функцию E(r):

.

Откуда находим

.

Если механическая энергия убывает (dE<0), то радиус орбиты уменьшается (dr<0). Для малых конечных изменений можно воспользоваться приближенным соотношением:

(1%).

Радиус орбиты уменьшается на 1%.

Оценим относительное изменение скорости спутника. Скорость спутника является однозначной функцией радиуса:

.

Найдем производную от u по r:

.

Для малых конечных изменений можно записать

(0,5%).

Так как ΔE<0, E<0, то скорость спутника возрастает (Δu>0) при уменьшении радиуса орбиты.

Аналогичным образом найдем изменение периода обращения:

,

,

(1,5%).

Период обращения спутника при торможении в верхних слоях атмосферы уменьшается.