Примеры решения задач (Поступательное движение твердого тела)
Задача
13.
Тело движется по горизонтальной
поверхности под действием силы
или
(см. рисунок). Сравните ускорения тела
а1
и а2,
если коэффициент трения скольжения
между телом и поверхностью равен m
.
Р
ешение.
Правильный ответ а1>а2
. Объяснение связано с пониманием закона
силы трения скольжения
, где N – величина силы реакции или силы нормального давления. В рассматриваемом случае сила нормального давления меньше силы тяжести на величину проекции силы F на вертикальное направление:
N=mg–Fsina ,
где a – где угол между силой и горизонтальным направлением. Из рисунка видно, что горизонтальные составляющие сил и одинаковы, а сила трения Fтр2 больше силы трения Fтр1, так как N2>N1. Поэтому а1>а2, как следствие второго закона Ньютона.
Исследуем детально движение тела по горизонтальной поверхности под действием силы, направленной под углом a к горизонту.
Тело будет двигаться с ускорением, если горизонтальная составляющая силы больше силы трения скольжения:
Fcosa>m(mg-Fsina).
Откуда для величины силы F находим
.
Ускорение тела равно
.
Зависимость ах(tga) имеет максимум при tgam=m :
.
Убедитесь в этом, исследуя зависимость ах(tga) на экстремум.
Р
ассматриваемая
задача допускает графическое решение.
Тело находится под действием силы
,
силы тяжести
,
силы реакции
и силы трения
.
Равнодействующую силы представим как
сумму
,
где сила
направлена под углом am
к вертикали, так как
в соответствии с законом трения
скольжения. Запишем основное уравнение
динамики в виде
.
Представим графически эту сумму векторов.
Е
сли,
не меняя модуля силы
,
увеличивать угол a,
то модуль силы
будет
уменьшаться, а модуль вектора
увеличивается и принимает максимальное
значение при угле a
=am,
когда сила
Q
становится равной нулю.
Из векторного треугольника сил находим
.
Откуда получаем
.
Задача 14. По наклонной плоскости, образующей угол a=150с горизонтом, втаскивают с помощью нити груз массой m=2,6кг. Коэффициент трения между грузом и плоскостью равен m=0,63. Определите минимальную силу Fmin , которую необходимо приложить к нити, чтобы втаскивать груз. Чему равен угол b между нитью и наклонной плоскостью при этом?
Д
Решение
a=150
m=2,6 кг
m=0,63
Fmin – ?
b – ?
ля решения задачи воспользуемся основным законом динамики:
.
Представим векторное уравнение в скалярной форме:
,
,
где Fтр=mN.
Одно из условий минимальности силы тяги: тело должно двигаться равномерно, не отрываясь от плоскости. Положив ах=ау=0, для силы тяги находим
.
Сила тяги зависит от угла b. При некотором значении угла bm знаменатель в выражении для силы тяги становится максимальным, а сила тяги при этом принимает минимальное значение. Исследуя знаменатель на экстремум, получаем
bm=arctgm=320.
Подставив bm в выражение для силы тяги, находим
=19Н.
В частном случае (a=0) (груз находится на горизонтальной поверхности)
.
Самостоятельно исследуйте зависимость bm и Fmin от коэффициента трения m.
Рассмотрим графическое решение этой задачи. Условие равномерного перемещения груза по наклонной плоскости:
,
или иначе
,
г
де
– равнодействующая
сил трения и реакции плоскости. Вектор
силы
составляет угол j
с нормалью к поверхности, так как между
углом j
и коэффициентом
трения m
имеет место
связь:
,
в соответствии с законом трения скольжения.
Построим
векторный треугольник сил. Вектор силы
тяжести направлен вертикально вниз, и
длина его известна. Через конец вектора
проведем прямую, составляющую угол a
+ j
с вертикалью. На этой прямой отложим
силу
,
совмещая ее начало с концом вектора
.
Так как модуль силы
нам неизвестен, длину этого вектора
выберем произвольно (см. рисунок). В
соответствии с векторной суммой сила
должна замыкать векторный треугольник
сил. Из рисунка видно, что модуль силы
будет иметь наименьшую величину, если
сила
перпендикулярна силе
.
Откуда следует, что сила
направлена под углом j
к наклонной плоскости (убедитесь в
этом). Таким образом,
b=j=arctgm ,
.
Задача 15. Два тела соскальзывают с одинаковой высоты h по наклонной плоскости с углом наклона к горизонту a без начальной скорости. Сравните скорости тел в конце спуска u1 и u2 и время соскальзывания t1 и t2 , если m1>m2, а коэффициент трения m1 < m2.
Решение. Правильный ответ: u1 > u2 , t1 < t2.
Для обоснования воспользуемся методом анализа размерностей. Выделим величины, определяющие физический процесс: h(м) – высота, a(град) – угол наклона плоскости, m – коэффициент трения между телом и плоскостью, m(кг) – масса тела, g(м/с2) – ускорение силы тяжести.
Единственная
комбинация физических величин, дающая
размерность времени – это
.
По методу анализа размерностей можно утверждать, что время спуска равно
,
где f1(a, m) – функция a и m.
Время спуска не зависит от массы тела.
При
оценке скорости в конце спуска единственно
возможной комбинацией физических
величин, дающих размерность скорости,
является
.
Можно утверждать, что скорость в конце спуска
,
где f2(a,m)–функция угла a и коэффициента трения m.
Скорость в конце спуска также не зависит от массы. Таким образом, при равенстве коэффициентов трения или отсутствии трения скорости тел и времена их соскальзывания будут одинаковыми. Если m1¹m2 , определенного вывода сделать нельзя. Хотя интуиция подсказывает, что при m1<m2 будут выполняться условия u1>u2, t1<t2.
Р
ассмотрим
динамическое решение поставленной
проблемы. Проанализируем физическую
ситуацию. На тело, находящееся на
наклонной плоскости, действуют сила
тяжести
, сила трения и сила реакции . Сопротивлением воздуха, силой Архимеда можно пренебречь (поясните почему).
Если сумма сил
,
тело будет находиться в состоянии покоя или двигаться равномерно вниз по наклонной плоскости.
Выберем систему координат, связанную с Землей, координатные оси которой направлены вдоль плоскости и перпендикулярны ей.
Так как Fтр=mN, сила реакции N=mgcosa и если mgsina>mmgcosa, то тело может двигаться вдоль наклонной плоскости с ускорением.
Таким образом, чтобы тело двигалось с ускорением, должно выполняться условие tga >m. Найдем ускорение тела ах. Воспользуемся основным уравнением динамики (второй закон Ньютона):
.
Время спуска определяется длиной плоскости
и ускорением аx:
.
Оно не зависит от массы тела и увеличивается при увеличении коэффициента трения.
Скорость тела в конце спуска равна
.
Она не зависит от массы тела и уменьшается при увеличении коэффициента трения.
Задача 16. Стеклянный шарик радиусом R=0,51см падает с высоты h=11см на поверхность глицерина. Определите установившуюся скорость падения шарика и оцените длину участка стабилизации. Плотность стекла r1=2,5г/см3, плотность глицерина r2=1,2г/см3, вязкость глицерина h=0,50Па с.
Решение.
При движении в глицерине на шарик
действуют: сила тяжести
,
выталкивающая сила Архимеда
,
сила вязкого трения
и сила сопротивления
.
Архимедова
сила сравнима с силой тяжести, так как
плотности стекла и глицерина сравнимы.
При небольших скоростях движения силой
сопротивления можно пренебречь в
сравнении с силой вязкого трения, так
как
~
,
~
.
В таком приближении движение шарика в глицерине описывается дифференциальным уравнением
где
,
,
(закон
Стокса).
Скорость шарика у поверхности глицерина оценим, считая падение шарика в воздухе свободным с высоты h без начальной скорости, по формуле
В установившемся режиме падения шарика в глицерине сила вязкого трения уравновешена разностью силы тяжести и силы Архимеда:
Откуда находим скорость установившегося падения:
Отметим, что величина установившейся скорости падения шарика не зависит от высоты h, с которой падает шарик на поверхность глицерина.
Рассмотрим оправдано ли было пренебрежение силой сопротивления. Оценим эту силу:
Fc=au2 ~ pR2r2un2 ~ 10-4H.
Сила вязкого трения при этом равна
Рассмотренная задача имеет практическое приложение. Измерив скорость падения шарика un, можно оценить вязкость жидкости по формуле
При конструировании экспериментальной установки и проведении эксперимента важно знать длину участка стабилизации движения шарика.
Чтобы оценить длину участка стабилизации, нужно определить зависимость скорости шарика от времени u(t). Для этого необходимо решить дифференциальное уравнение
при начальном условии u(0)=u0.
Представим
уравнение в обобщенной форме. Измерим
скорость в долях un,
а время
в долях
При этом обобщенное уравнение принимает вид
а начальная скорость равна
Для скорости шарика получаем
Из решения видно,
что при
,
т.е.
.
Если
,
т.е.
,
то U=1
(шарик движется с установившейся
скоростью от начала своего движения в
жидкости). Если
,
скорость шарика уменьшается с течением
времени, асимптотически приближаясь к
.
При
,
скорость шарика растет асимптотически
до
.
Таким образом, если
длина участка стабилизации отлична от
нуля:
,
где
– время стабилизации движения.
Для оценки воспользуемся условием
Откуда
,
.
Длина участка стабилизации равна
см.
Задача 17. На тело массой m=2кг, движущееся по горизонтальной поверхности со скоростью u0=3,4м/с, бьет горизонтальная струя воды, скорость которой равна uс=12м/с и направлена против движения тела. Площадь сечения струи S=5,1см2 . Вода после удара о вертикальный торец тела стекает с него вниз. Определите установившуюся скорость движения тела, если коэффициент трения тела между телом и поверхностью равен m=0,21. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Р
ешение.
На тело действует сила реакции струи
,
сила трения скольжения
,
сила тяжести
и сила реакции горизонтальной поверхности
.
П
роанализируем
движение тела на качественном уровне.
Вначале, до некоторого момента времени,
тело будет тормозиться под действием
силы реакции струи и силы трения,
направленных в одну сторону, а затем,
после остановки, начнется спутное
движение, если сила реакции струи будет
больше максимальной силы трения покоя.
В спутном движении сила реакции струи
и сила трения направлены в противоположные
стороны. По мере роста скорости тела
сила реакции струи будет уменьшаться,
и, когда она сравняется с силой трения,
наступит режим равномерного движения.
Сила реакции струи равна
где r – плотность воды (1,0 г/см3).
Когда тело
остановится (u=0),
сила реакции струи будет равна
.
Спутное движение возникнет, если сила
реакции струи больше силы трения:
>
.
В нашем случае это условие выполняется. Скорость тела в установившемся режиме найдем из равенства сил реакции струи и трения:
.
Для установившейся скорости тела находим
м/с.
Интерес представляет вопрос о длине участка торможения. Рассмотрим решение для режима торможения.
Запишем основное уравнение динамики в проекциях на координатные оси:
,
,
где
,
.
Проблема сводится к решению дифференциального уравнения
с начальным
условием
<
0.
Представим уравнение движения и начальное условие в обобщенной форме в безразмерных величинах:
,
,
,
,
где
-
безразмерная скорость в долях скорости
струи, t
– безразмерное
время в долях
,
R
– безразмерный критерий, характеризующий
влияние силы трения относительно
максимальной силы реакции струи,
-
безразмерная начальная скорость тела.
В обобщенной форме получаем
,
<0.
Скорость тела изменяется с течением времени согласно соотношению
.
Время торможения найдем, положив =0:
,
c.
Для смещения на участке торможения получаем
м.
Задача 18. Оцените минимальное время разгона автомобиля из состояния покоя, если коэффициент трения покоя между шинами автомобиля и дорогой равен m=0,2. Все колеса автомобиля являются ведущими. Чему равна установившаяся скорость автомобиля? Какую полезную мощность развивает при этом двигатель автомобиля? Коэффициент сопротивления воздуха для автомобиля принять равным b=3,8 кг/м, масса автомобиля m=1,5 т. Трением качения пренебречь.
Р
ешение.
Автомобиль является объектом
самодвижущимся. Во всех подобных задачах
роль движущей силы выполняет сила трения
покоя, максимальное значение которой
равно
.
Чтобы разогнать автомобиль за кратчайшее
время, движущая сила должна быть
максимальной.
Проблема сводится к решению основного уравнения динамики
при начальной скорости u(0)=0.
Скорость автомобиля изменяется с течением времени согласно соотношению
,
где
–
предельная скорость автомобиля,
с
– время разгона автомобиля.
Полезная мощность двигателя автомобиля равна
кВт
(114л.с.).