Задачи для самостоятельного решения

1. Скорость движения катера относительно воды в 2,5 раза больше скорости течения реки. Под каким углом a(рад) к направлению течения катер должен держать курс, чтобы переправиться на другой берег реки по кратчайшему пути? (2,0рад).

2. Моторная лодка, движущаяся с постоянной скоростью относительно воды, встречает плот. Через 32мин после встречи поворачивает обратно и встречает плот на расстоянии 5,5км от места первой встречи. Чему равна скорость течения воды в реке? (1,4м/с).

3. Первую треть пути тело движется равномерно со скоростью 2,1м/с, вторую – 4,3м/с, третью – 3,7м/с. Найдите среднюю путевую скорость (3,1м/с).

4. Первую половину пути туристы прошли со скоростью 5,1км/ч. Половину времени оставшегося пути туристы двигались со скоростью 4,2км/ч, а последний участок – со скоростью 3,5км/ч. Найдите среднюю путевую скорость (1,2м/с).

5.Скорость частицы изменяется со временем согласно уравнениям: 1) , 2) . Сравните средние скорости частицы <u₁> и <u₂> за время t=t от начала движения (<u₁> > <u₂>).

6 . Составляющая скорости точки u_х изменяется со временем согласно графику (см. рисунок). Определите среднюю скорость <u_x> и среднее ускорение <a_x> для интервала времени Dt: а) [0,10];б) [4,8] ( а) <u_x>=0,<a_x>=0, б)<u_x>=-1,5м/с; <a_x>=-0,5м/с²).

7 . Два тела начинают двигаться в однородном поле тяжести Земли с начальными скоростями

и (см.рисунок). Пренебрегая сопротивле­нием воздуха, сравните: а) время движения тел (t₁ и t₂); б) дальность полета тел (S₁ и S₂); в) радиусы кривизны траекторий в наивысшей точке подъема (R₁ и R₂) (а)t₁=t₂, б) S₁<S_2, в) R₁<R₂.).

8. Аэростат поднимается вверх с ускорением а=1,0м/с² без начальной скорости. Спустя время t=60с после старта из аэростата сбросили груз вниз со скоростью u₀=10м/с относительно аэростата. Через какое время груз достигнет поверхности Земли? Сопротивлением воздуха пренебречь (25с).

9. Ракета движется вертикально вверх с ускорением а=6,2м/с². Через некоторое время двигатели ракеты перестали работать. Звук на Земле в месте старта перестал быть слышен спустя время t=46с. Определите скорость ракеты в момент прекращения работы двигателей. Принять скорость звука в воздухе u=320м/с (2,1×10²м/с).

10. С высоты Н=180м бросили тело в горизонтальном направлении со скоростью u₀=30м/с. На какой высоте h от поверхности Земли будет находиться тело в момент времени t=4,0с от начала броска? Чему равен радиус кривизны R траектории в этом месте? (h=100м, R=420м).

11. Камень бросают с высоты h=3,1м со скоростью u₀=6,6м/с. Под каким углом a_m (град) к горизонту следует его бросить, чтобы он улетел как можно дальше? Чему равно это расстояние? (a_m=33⁰, S_max=6,8м).

12. Из брандспойта бьёт струя воды под углом a=35⁰ к горизонту. Определите ежесекундный расход воды m(кг/с), если дальность полета струи равна S=24м, диаметр выходного отверстия брандспойта d=2,2см. Сопротивлением воздуха пренебречь (m=6,1кг/с).

13. Шарик падает с высоты h=22см на наклонную плоскость и упруго отражается. На каком расстоянии S от места падения шарик снова ударится о плоскость? Плоскость наклонена под углом a=35⁰ к горизонту (S=1,0м).

14. Из пожарного шланга струя воды должна попасть в горящее окно, находящееся от него на высоте h=19м и расстоянии по горизонтали l=22м. С какой минимальной начальной скоростью u_{0 min} и под каким углом a_m к горизонту необходимо направить струю, чтобы она достигла горящего окна? (u_{0 min} =20м/с, a_m=75⁰).

15. Лыжник соскальзывает без начальной скорости с вершины горы (высота H=70м), имеющей горизонтальный трамплин высотой h. При какой высоте трамплина лыжник улетит на максимальное расстояние от точки отрыва? Чему равно это расстояние l? (h=35м, l=78м).

16. Футболист забивает гол со штрафного удара точно под перекладину. Какую минимальную скорость необходимо сообщить мячу u_{0 min} при этом? Расстояние от места штрафного удара до места попадания равно l=26м. Высота ворот h=2,5м (u_{0 min} =17м/с).

17. Точка М движется равномерно (u=const) по спирали, радиус которой уменьшается. Как изменяется величина ускорения точки? (увеличится).

18. Радиус кривизны траектории тела, брошенного под углом к горизонту, изменяется согласно соотношению R~uⁿ. Определите степень n (3).

19. Тело, движущееся по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью 13м/с, падает в яму с плоскими вертикальными стенками глубиной 8,1м и шириной 0,52м. Сколько раз тело ударится о стенки ямы за время падения? Удары тела о стенки ямы считать абсолютно упругими (31).

20. Точка движется в плоскости с постоянным касательным ускорением at=1,6м/с² без начальной скорости. Нормальное ускорение точки изменяется с течением времени согласно соотношению a_n=1,4t^3/2(м/с²). Определите радиус кривизны траектории для пройденного пути S=16м (3,9м).

21. Точка движется по окружности радиусом R=24см согласно уравнению S=6t^2,4(см). В какой момент времени величина нормального ускорения точки будет равна величине касательного ускорения? (1,4с).

22. Материальная точка движется согласно уравнениям x=AСos(j), y=ASin(j), где A=42см, j=1+6t–t³(рад). Для момента времени t=1,2с определите величину скорости, величину ускорения и угол a(град) между векторами и (u=0,71м/с, а=3,2м/с², a=159^о).

23. Точка движется по окружности с угловым ускорением e~t^m без начальной угловой скорости (w_о=0). При этом tga ~tⁿ, где a= ^ _. Чему равна степень n? (n=m+2).

24.Точка движется по окружности радиусом R=0,12м со скоростью u~Sⁿ, где S – пройденный путь, n=2. Определите угол a= (град) для пройденного пути S=0,55м (64⁰).

25. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси согласно уравнению j=at-bt³, где а=5,21/с, в=1,91/c³. Определите среднее значение угловой скорости <w> и углового ускорения <e> для промежутка времени от начала движения до остановки (<w>=3,5рад/с, <e>=-5,4рад/с²).