1 Расчет автоматической системы регулирования

Задание:

1.Расчитать АСР по схеме, изображенной на рисунке 1, если известны передаточные функции по таблице 1 элементов и коэффициенты передаточных функций по таблице 2.

φ

μ₁

μ

φ_з

ε

W_и(p)

W_p(p)

W_o(p)

W_c(p)

φ_д

-

Рис. 1

Рисунок 1- Схема САУ

На рис 1. приняты следующие обозначения:

W_р(p), W_с(p), W_о(p), W_и(p)- передаточные функции регулятора, исполнительного механизма, объекта регулирования, измерителя/датчика/соответственно;

φ_з ,φ, φ_и – заданное, действительное и измеренное значения регулируемой величины соответственно;

λ - возмущающее воздействие.

Т а б л и ц а 1 - Передаточные функции

Wи(p)	Wс(p),	Wр(p),	Wо(p)

Т а б л и ц а 2 - Коэффициенты передаточных функций

Ко	То	Т	Кр	Ти	Тд	Кс	Тс	Ки	Т1
0,7	60	70	3	120	15	1,5	10	1	20

1.1 Найти передаточные функции замкнутой и разомкнутой САУ по отношению к возмущающему воздействию λ и заданию φ_з.

1.2 Проанализировать устойчивость замкнутой системы алгебраическим и частотным методом.

1.3 Определить отклонение регулируемой величины от заданной в установившемся режиме для случая φ_з(t)=1, λ(t)=1.

1.1Определение передаточных функций сау

Под прямой связью понимается передаточная функция между искомыми переменными по направлению прохождения сигнала без учета главной обратной связи.

На этом основании можно записать:

где передаточная функция разомкнутой САУ:

Подставим функции из таблицы 1, получим:

где ; ;

; ;

. .

В итоге можно сказать, что разомкнутая система обладает астатизмом второго порядка.

Передаточная функция замкнутой системы определяется по формуле:

Подставим функции из таблицы 1, получим:

1.2 Определение устойчивости сау

Для определения устойчивости системы нам необходимо составить характеристическое уравнение замкнутой системы. Найдем его приравняв знаменатель передаточной функции к нулю,

Пусть

Тогда .

Отсюда следует, что характеристическое уравнение замкнутой системы будет равно:

Тогда подставив значения из формулы (1.1) получим:

Характеристическое уравнение:

. (1.9)

Подставив значения из таблицы 2 в формулу (1.9) получим:

Для определения устойчивости системы при помощи алгебраического критерия Гурвица введем обозначения:

с_о = Т₁·Т_о·Т = 20·60·70=84000;

с₁= Т₁·Т_о + Т₁·Т + Т_о·Т = 20·60 + 20·70 + 60·70=6800;

с₂= К_и·К_с·К_о·Т_д + Т₁ + Т_о + Т = 1·1,5·0,7·15 + 20 + 60 + 70 =165,75;

с₃= К_и·К_с·К_о·К_р + 1 = 1·1,5·0,7·3 + 1 = 4,15.

Тогда характеристическое уравнение замкнутой САУ примет вид:

84000·р³ + 6800·р² + 165,75·р + 4,15 = 0

Составим определители Гурвица:

Согласно определению: система будет устойчива, если все главные диагональные миноры до n-1 порядка определителя Гурвица будут положительны. Следовательно, данная система будет устойчива, так как Δ₃,Δ₂>0.

Для анализа устойчивости по частотному методу Михайлова запишем выражение годографа Михайлова, для этого в характеристическое уравнение подставим р=i·w :

G (i · w) = 84000 · (i · w)³ + 6800 · (i · w)² + 165,75· (i · w) + 4,15 .

Раскроем скобки:

G (i · w) = -84000 · i · w³ - 6800 · w² + 165,75 · i· w + 4,15.

Выделим из уравнения мнимую и действительную часть:

G (i · w) = х (w) + i · y (w) = 4, 15 - 6800 · w² + i ·(165,75 · w - 84000 ·w³).

Найдем точки пресечения годографа Михайлова с вещественной осью, для этого приравняем к нулю мнимую часть:

165,75 · w - 84000 · w³= 0;

w · (165,75 - 84000 · w²) = 0;

w₁ = 0; w₃ = 0,044 c.^-1

Подставим корни в действительную часть, получим:

x (w₁) = x (0) = 4,15;

x (w₃) = x (0, 044) = - 279,9.

Найдем точки пресечения годографа с мнимой осью, для этого приравняем к нулю вещественную часть:

4, 15 - 6800 · w² = 0;

w₂ = 0,024 c^-1.

Подставив корни в мнимую часть, получим:

y (w₂) = 2,82

По полученным точкам построим годограф Михайлова:

Рисунок 2 - Годограф Михайлова

Из графика следует, что годограф последовательно проходит 3 квадранта в положительном направлении при изменении w от нуля до бесконечности, следовательно, система устойчива.