5.Переходные процессы в rl - цепях.

i=i_пр+i_св

i_пр=E/R

Lp+R=0 => p=-R/L

i_св =Ae^(-R/L)t=Ae^-t/τ

τ=1/│p│=L/R-постоян.времени перех.проц.

i=E/R+ Ae^-t/τ

t=0: i(0)=E/R+A

i(0)=i(0-)=0

0=E/R+A => A=-E/R

i=E/R-(E/R)e^-t/τ

U_L= = ( e^-t/τ

U_L= Ee^-t/τ

6.Переходные процессы в rс-цепях.

Uc+UR=U

UR=iR=RC(du\dt); RC(du_с\dt)+ Uc=U

Uccв=Ae^pt; (U_C-1; du_с\dt-p) pRc+1=0; p= -(1/RC) τ=RC; Uccв=Ae^pt=Ae^-(t/RC);

Uccв=Ae^-(t/RC) Uc_пр=U; Uc(t)=U+Ae^-(t/RC); Uc(0_)= Uc(0+)=0; 0=U+A; A=-U

Uc(t)=U(1-e^-(t/RC))

7. Переходные процессы в rlc цепи

Переходные процессы при подключении последовательной R-L-C-цепи к источнику напряжения. Рассмотрим случай u(t)=Uo, Uc(t)=Ucпр(t)+Ucсв(t)

Тогда для первого случая принужденная составляющая этого напряжения U_Спр = Uo. Характеристическое уравнение цепи

LCp^2 + RCp + 1 = 0 решая которое, получаем p1,2= ± . В зависимости от соотношения параметров цепи возможны три типа корней и соответственно три варианта выражения для свободной составляющей:

1. R/2L>1/ или R >Rкр=2 J—, где Rкр - критическое сопротивление контура, меньше которого свободный процесс носит колебательный характер. В этом случае Ucсв= A1* + A2*

2. R = Rкр - предельный случай апериодического режима. В этом случае p1=р₂ =p =-R/LC

и Ucсв= (A1+ A2*t)

3. R < Rкр , - периодический (колебательный) характер переходного процесса. В этом случаe p1,2=-α±jwсв и Ucсв= A* где а=R/(2L)- коэффициент затухания;

wсв= =2π/Тсв - угловая частота собственных или свободных колебаний;

Т_св- период собственных колебаний.

Для апериодического характера переходного процесса можно записать

Uc(t)= Uo+A1* + A2*

Для нахождения постоянных интегрирования, учитывая, что в общем случае Uc(0)≠0 и в соответствии с первым законом коммутации dUc/dt(t=0)=i(o)/C=0 запишем для t=0 два уравнения

U_с(0)-U₀ = А1+А₂;

О=p1A1 + p2А2 решая которые, получим

A1=(Uo-Uc(o))*p2/(p1-p2)

A2=(Uo-Uc(o))*p1/(p1-p2)

Таким образом, Uc(t)=Uo+(Uo-Uc(o))*(p2* /(p1-p2)- p1* /(p1-p2)) Тогда ток в цепи i(t)=CdUc/dt=C(Uo-Uc(o))p1p2/(p1-p2)*( )

и напряжение на катушке индуктивности

ul(t)=Ldi/dt=(Uo-Uc(o))* (p1* -p2* )

качественные кривые Uc(t), i(t), Ul(t) соотв. апериодич. переход. проц. при Uc(0)=0

Для критического режима можно записать Uc(t)=Uo+(A1+A2t)

При t=0 Uc(o)-Uo=A1, pA1+A2=0

Таким образом, Uc(t)=Uo+(Uo-Uc(o))(1+Rt/2L)

и i(t)=CdUc/dt=C(A2 +pA1 +ptA2 )=CpA2t =(Uo-Uc(o))t /L

Для колебательного переходного режима имеем Uc(t)=Uo+A Sin(wсвt+ɸ)

Для нахождения постоянных интегрирования запишем

u_c(0)-U₀=Asinɸ; 0=-аАsinɸ+Awсвcosɸ, откуда A=(Uc(0)-Uo)/sinɸ и tgɸ=wсв/α

Uc(t)=Uo+(Uc(o)-Uo)/ - Sin(wсвt+arctg wсв/α)

Тогда

i(t)=CdUc/dt=(Uo-Uc(o))/Lwсв * Sin(wсвt)

кач. кр. Uc(t), i(t) соотв.колеб.перехо.процессу при и_с(0)=0.