Марковские подстановки

Алфавитом (как и прежде) называется любое непустое множество. Его элементы называются буквами, а любые последовательности букв — словами в данном алфавите. Для удобства рассуждений допускаются пустые слова (они не имеют в своем составе ни одной буквы). Пустое слово будем обозначать  . Если   и   — два алфавита, причем  , то алфавит  называется расширением алфавита  .

Слова будем обозначать латинскими буквами:   (или этими же буквами с индексами). Одно слово может быть составной частью другого слова. Тогда первое называется подсловом второго или вхождением во второе. Например, если   — алфавит русских букв, то можем рассмотреть такие слова:      . Слово   является подсловом слова  , а   — подсловом   и  , причем в   оно входит дважды. Особый интерес представляет первое вхождение.

Марковской подстановкой называется операция над словами, задаваемая с помощью упорядоченной пары слов  , состоящая в следующем. В заданном слове   находят первое вхождение слова   (если таковое имеется) и, не изменяя остальных частей слова  , заменяют в нем это вхождение словом  . Полученное слово называется результатом применения марковской подстановки   к слову  . Если же первого вхождения   в слово   нет (и, следовательно, вообще нет ни одного вхождения   в  ), то считается, что марковская подстановка  неприменима к слову  .

Частными случаями марковских подстановок являются подстановки с пустыми словами:

Преобразуемое слово	Марковская подстановка	Результат
138 578 926	(8 578 9, 00)	130 026
тарарам	(ара, Λ)	трам
шрам	(ра, ар)	шарм
функция	(Λ, ζ-)	ζ-функция
логика		лог
книга		книга
поляна	(пор, т)	[неприменим

Для обозначения марковской подстановки   используется запись  . Она называется формулой подстановки  . Некоторые подстановки   будем называть заключительными (смысл названия станет ясен чуть позже). Для обозначения таких подстановок будем использовать запись  , называя ее формулой заключительной подстановки. Слово   называется левой частью, а   — правой частью в формуле подстановки.

Нормальным алгоритмом (Маркова) в алфавите   называется следующее правило построения последовательности   слов в алфавите  , исходя из данного слова   в этом алфавите.

оследовательность   будем записывать следующим образом:

, где   и  .

07.05.14

В основе лямбда-исчисление лежит понятие функции. Мы можем составлять сложные функции из простейших, а также подставлять в функции аргументы, которые могут быть как константами так и другими функциями. Как только мы составили выражение мы можем передать его вычислителю. Он подставляет аргументы в функции и возвращает такое выражение, в котором невозможно далее проводить подстановки аргументов. Этот процесс проведения подстановок считается вычислением алгоритма.

В рамках теории машин Тьюринга алгоритм описывается по-другому. Машина Тьюринга имеет внутреннее состояние, Состояние содержит некоторое значение, которое изменяется по ходу работы машины. Машина живёт не сама по себе, она читает ленту символов. Лента символов – это большая цепочка букв. На каждую букву машина реагирует серией действий. Она может изменить значение состояния, обновить букву в ленте или перейти к следующему или предыдущему символу. Есть состояния, которые обозначают конец работы, они называются терминальными. Как только машина дойдёт до терминального состояния мы считаем, что вычисление алгоритма закончилось. После этого мы можем считать результат из состояний машины.