05.09.13

Декартово произведение множеств

А*В={(х,у):х принадлежит А, У принадлежит В}

(А*В)=(В*А)

А*А= А в квадрате -декартов квадрат

Отображение множеств(F)

1: х->у

х или Д(+)-

Д(х)-область определения

У Е(У)-

Счетные и не счетные множества

Множества А и В эквивалентны если существует взаимно однозначное отображение А на В

А~B

(A~B)->(B~A)- симетрия

A~A-рефлексивность

(A~B)ʌ(B~C)=>A~C-транзитивность

Множество А конечно если существует число n такое что А ~(1,2,3,...,n)

множество А счётной если А~N и множество А не счётной если А бесконечно

Формула включения исключения

пусть у множеств А и В общая часть насчитывает К-элементов, тогда в объединении множеств А и В число элементов

m+n-k

или объединение А и В:

• |АνB|=|A|+|B|-|AʌB|-формула включения исключения

Для 3 элементов

• |AνBνC|=|A|+|B|+|C|-|AʌB|-|BʌC|-|AʌC|+|AʌBʌС|

Круги Эйлера

Круги Эйлера- геометрическая схема, с помощью которой можно отобразить отношения между множествами.

Они были изобретены Леонардом Эйлером и с тех пор широко используются в математике, в логике.

Пусть 2 круга определяют 2 множества объекта А и B (в блоке).

Где каждый из множеств сформирован, по какому либо признаку

Рассмотрим возможные взаимные расположения кругов(в блоке):

1. Не пересекаются

2. Пересечение

3. Вложение

4. Объединение

12.09.13

алгебра-логика

Алгебра-логика - математический аппарат, с помощью которого записывают, вычисляют, упрощают и преобразовывают логические высказывания

Создателем алгебра-логики является Джордж Буль

Логическое высказывание - любое повествовательное предложение в отношение, которого можно однозначно сказать истинно оно или ложно

Высказывательная форма - это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями.

Логические связки

Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания “не” “и” “или” “если” то “тогда и только тогда” и другие позволяют из заданных высказываний строить новые высказывания, такие слова и словосочетания называются логическими связками

Логические операции

1. Операция, выражаемая словом “не” называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием “|”

а	а
0	1
1	0

2. Операция, выражаемая связкой “и” называется конъюнкцией или логическим умножением и обозначается :., &,^

а	b	a^b
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

3. Операция, выражаемая связкой “или” называется дизъюнкцией или логическим сложением и обозначается:+,ν

a	b	A v b
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

4)Операция выражаемая связками “ если то”, “из следует”, “влечет” называется импликацией или следованием и обозначается: a->b

a	b	a b
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

5)Операция, выражаемая связками “тогда и только тогда”, “необходимо” и “достаточно”, “равносильно” называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается: <->,~

a	b	a b
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Логическая формула

1. Всякая логическая переменная и символы истина и ложь - формулы;

2. Если а и b формулы, то, а^b, aνb,a->b,a<->b-тоже формулы

3. Никаких других формул в алгебра-логике нет

Таблицы

a	b	a	b	a^b
0	0	1	1	1
0	1	1	0	0
1	0	0	1	0
1	1	0	0	0
a	b	b	A v b
0	0	1	1
0	1	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1

a	b	A^b	A^b
0	0	0	1
0	1	0	1
1	0	0	1
1	1	1	0
a	b	Avb	┐(avb)
0	0	0	1
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	1	0

a	b	b	A b
0	0	1	1
0	1	0	1
1	0	1	1
1	1	0	0
a	b	A b		┐(A b)
0	0	1		0
0	1	0		1
1	0	0		1
1	1	1		0

a	b	A	A v b	┐ (A v b)
0	0	1	1	0
0	1	1	1	0
1	0	0	0	1
1	1	0	1	0

17 09 13