19 Тербеліс теңдеуінің сандық әдістері. Салмақтары бар сандық әдістері
Біртекті перненің аз тербелісін сипаттайтын бір өлшемді есебін қарастырайық
(1)
Мұндағы
с – ауытқудың (тербелістің) біртекті
перненің бойымен таралу жылдамдығы,
- берілген функциялар.
Жылуөткізіштік теңдеуінің айырымдылық схемалары. Орнықтылығын зерттеудің Фурье әдісі тақырыбына ұқсас зерттеу жұмысарын жүргіземіз. Нәтжесінде (1)-ден аламыз
(2)
Мұндағы
жылуөткізгіштік теңдеуіндегідей
анықталады.
(2)-ші
теңдеуінің мағынасы
болғандағы түйіндерде болады, ал
және
болғанда шешімі шекаралық шарттарымен
анықталады; дәлдігі бойынша
.
(2) есебінің ақырлы-айырымдық аппроксимациясын
қарастыру үшін
түйіндік нүктелер жүйесін енгіземіз.
Келесі екі схеманы қарастырайық.
Айқындалған «крест» схемасы
(3)
Айқындалмаған схема
(4)
20 Пуассон теңдеуіне қойылған Дирихле айырымдылық есебінің сандық әдістері. Қалаптастыру әдісі. Айқындалған, айқындалмаған және айнымалы бағыттар схемалары.
Шекарасы
болатын
облысында
(1)
есебін
қарастырамыз.
облысының аппроксимациясын
деп, ал шекарасы
облысының аппроксимациясын
деп белгілейік.
(2)
Лемма
1. Айталық
функциясы
торында анықталған және барлық ішкі
нүктелерінде
(4)
шартын
қанағаттандырсын. Онда
функциясы
торына өзінің ең үлкен мәнін
шекарасының әйтеуір бір нүктесінде
қабылдайды.
Лемма 2. Айталық функциясы торында анықталған және барлық ішкі нүктелерінде
(5)
шартын қанағаттандырсын. Онда функциясы торына өзінің ең кіші мәнін шекарасының әйтеуір бір нүктесінде қабылдайды.
Теорема (Максимум принципі)
(6)
Айырымдылық теңдеуінің әрбір шешімі өзінің ең үлкен және ең кіші мәндеріне шекарасының әйтеуір бір нүктесінде жетеді.
Шекарасы
болатын
облысында
(7)
есебін қарастырамыз. Осы стационар есебімен қатар стационар емес есеп қарастырамыз.
(8)
Әзірше
функциясы кез келген функция.
Стационар (7) есебінің орнына (8) стационар емес есебін t уақытының қашанда бір мәніне дейін – біздің қалауымыздағы дәлдікпен шешімінің мәндері өзгеруін тоқтатқанша – шығаруға болады. Яғни,
(9)
(9) айырымдылық есебінің орнына (10), (11), (12) айырымдылық есебін шығарамыз:
Айқындалған схема:
(10)
Айқындалмаған схема:
(11)
Айнымалы бағыттар схемасы:
(12)
функциясын
шекарасында
(13)
шарты орындалатындай етіп аламыз.
мәндерін
белгілі
мәндері арқылы (10) схемасымен есептеу
айқындалғанформуласымен іске асады.мәндерін есептелген мәндері арқылы (11) схемасымен табу үшін
Есебін шығару керек. Бұл есепті шығару (9)-шы есебін шығарудан жеңіл емес. Сондықтан (11) –шы қарапайым айқындалмаған схемасын қолданбайды.
мәндері белгілі мәндері арқылы (12) схемасымен есептеу қуалау әдісімен жүзеге асырылады. Алдымен Ох өсі бойымен
мәндерін табу үшін әрбір бекітілген j
бойынша бір өлшемді есебін қуалау
әдісімен шешеміз, модан кейін Oy
өсі
бойымен
мәндерін табу үшін әрбір бекітілген i
бойынша
бір өлшемді қуалау әдісімен шешеміз.