16 Екінші ретті қдт үшін шекаралық есептерін шешудің сандық әдістері. Ақырлы айырымдар әдісі. Қуалау әдісі және оның орнықтылығы мен жинақтылығы. Қателігі.

y”(x)+p(x)y’(x)+q(x)y(x)=f(x), (1)

(2)

(| |+| | ) ,

есебін қарастырайық. p(x), q(x) және f(x) функциялары аралығында узіліссіз болсын. Енді аралығын h= қадамымен бірдей n бөлікке бөлеміз: аралығының ішкі нүктелері x= , i=1,2,…,n-1 үшін келесі белгілеулерін , енгізейік. Онда (1) теңдеуінің орнына келесі ақырлы айырымдары теңдеулерін аламыз

(*)

Немесе

(3)

Мұндағы . (4)

және нүктелеріндегі y функциясының туындысын бір жақты айырымдылық туындысымен аппросимациялаймыз

, . (**)

Ендеше (2) шекаралық шартын былай жазуға болады

. (5)

(3),(5) сызықты жүйесі белгісіздерді болатын бірінші дәрежелі n+1 теңдеулерден тұрады.

Енді (3) теңдеуінен белгісізін өрнектейік, яғни алатынымыз

= .

Айталық, (3) және (5) толық жүйесінің көмегімен, (6) жүйесінен белгісізін (біртендеп жойып) шығарып тастадық дейік. Онда осы (6) жүйесі келесі түрге келеді.

(7)

Мұндағы және кейбір коэффиценттер. Енді (7) формуласын табамыз. Осы өрнекті (3)-ке қойсақ, алатынымыз , мұнан

(8)

Енді (7) мен (8)-ді салыстырып ,

17 Екінші ретті қдт үшін шекаралық есептерін шешудің оптимизациялық сандық әдістері. Галеркин әдісі. Ең аз квадраттар әдісі. Коллокация әдісі

Галеркин әдісі келесі теоремаға негізделген.

Теорема. Айталық нормасы нөлге тең емес, аралығында ортогональ, толық функциялар жиыны болсын. Егер үзіліссіз функциясы аралығында барлық функцияларына ортогональ болса, яғни

(1)

Дәлелдеуі. функциясының берілген ортогональ функциялар жүйесін қолданып, Фурье қатарына жіктелуін қарастырайық

(2)

Фурье коэффициенттері келесі формуламен анықталады

, мұндағы

Ендеше, (1) формуладан .

толық жүйесі үшін кез келген үзіліссіз функциясына толықтылық теңдігі орындалады, яғни

(4)

Бұдан (3)-ті ескерсек шығаыны , яғни , егер .

Теорема дәлелденді.

18 Жылуөткізгіштік теңдеуінің сандық әдістері. Айқындалған, айқындалмаған және Кранк – Николсон әдістері. Қателіктері.

Келесі жылуөткізгіштік теңдеуіне қойылған есебін қарастырайық

(1)

(2)

(3)

Мұндағы берілген, туындылары жеткілігінше көп, функциялары. .

Тек қана айнымалысы бойынша, қадамы деп алып, дискреттеп, (1)-(3) теңдеулерінен алатынымыз

(4)

(5)

(6)

Матрица түрінде жазсақ А – оң матрица немесе (4)-(6) алатынымыз

(7)

(8)

(9)

Мұндағы

Енді (7) қарапайым дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешумен айналысамыз. Ол үшін (7)-дегі әрбір теңдеуін аралығында уақыты бойынша интегралдаймыз. Сонда алатынымыз

Мұндағы

Келесі беунелеулерін енгізейік

(12)

(12)-ше белгілеудегі үш жағдайын қарастырайық

1) (13)

2) (14)

3) (15)

(16)

(13)-тен айқындалған схемасын аламыз

(17)

(14)-тен айқындалмаған схемасын аламыз

(18)

(15)-тен Кранк-Николсонсхемасын аламыз

(19)

(17) есебінде айқын табылады, (18) есебінде қуалау әдісімен табылады, (19) есебінде алдымен қуалау әдісімен табылады да айқын есептелінеді.