5. Ньютон (жанамалар) әдісі.

Бұл әдісте , яғни . , S-те f(x)=0

теңдеуінің жалғыз түбірі бар және S-те болсын.

, себебі .

Бұлардан шығатын қорытынды : әрқашан нүктесінің маңайы табылып, егер бастапқы жуықтау осы маңайдан алсынса, онда

тізбегі нүктесіне жинақталады. Мұнда - бастапқы жуықтауын теңсіздігі қанағаттандырылатындай таңдап алу керек.

Жинақтылық жылдамдылығы. Тейлор формуласынан

мұндағы (екі жағында -ке бөлеміз)

бұдан алатынымыз

Егер , , , болса және кесіндісінде , таңбаларын өзгертпесе , онда

Қиюшылар(хордалар ) әдісі

Айталық нақты болсын. маңайын S деп белгілейік. Осы S аймағында болсын. Ал пен S аймағында таңбаларын өзгертпесін. Бұл функциясы нүктесі арқылы өткенде таңбасын өзгертетінін көрсетеді, яғни оның осы аймақта жалғыз түбірі болады. Енді үшін орындалсын. Онда деп алсақ

(1)

теңдеуінің де түбірі болады.

Бастапқы жуықтауы және болса , онда , (2)

Бір жағынан (1)-ден , ал екінші жағынан Тейлор формуласынан , мұндағы , онда деп ұйғарып, алатынымыз: (өрнектің екі жағын -ге бөлдік ). Сондықтан да

, егер болса, онда - өте аз сан, себебі - өте аз сан. Яғни нүктесінің маңайы S әрқашан табылады. және S-те және егер болса , онда (2)-тізбегі нүктесіне жинақталады. Егер десек, онда

Аралас әдісі

, S-те , таңбаларын өзгертпесін,

болсын, онда

Егер болса, онда және келесі формула бойынша табылады

9. Функцияларды интерполяциялау. Лагранж интерполяциялық формуласы, қателігі.

Ньютон, Гаусс, Бессель және Стирлинг интерполяциялық формулалары тек бір бірінен бірдей қашықтытқта жатқан түйіндер үшін ғана жарамды. Ал түйіндердің бір бірінен ара қашықтығы әр түрлі болса, онда жалпыланған интерполяция қажет. Ондай формула – Лагранж интерполяциялық формуласы.

Айалық [a,b] кесіндіснде аргументтің әр түрлі мәндері х₀,х₁,...х_n берілсін және y=f(x) функциясының сәйкес мәндері де f(x₀)=y₀ , f(x₁)=y₁ ,…, f(x_n)=y_n белгілі болсын. бізге, дәрежесі n –нен аспайтын және берілен х₀,х₁,...х_n түйіндерінде f(x) фуекциясының сәйкес мәндеріне тең болатын, яғни L_n(x_i)=y_i (i=0,1,2,…n) шарты орындалатын L_n(x) полиномын құру керек.

Алдымен, келесі есебін: (1) қанағаттандыратын полиномын құрайық, мұндағы - Кронекер өрнегі.

Іздер отырған полиномымыз х₀,х₁,…, х_i-1, x_i+1...х_n n нүктелерінде нөлге айналатындықтан оны келесі түрде жазуға болады

(2)

Мұндағы С_і – тұрақты коэффициент. Енді (2) формулада х=x_iдеп алсақ және р_і(х_і)=1 болатынын ескерсек, онда алатынымыз:

.

Бұдан, . осы мәнді (1) формулаға қойсақ алатынымыз:

. (3)

Енді L_n(x_i)=y_i шартын қанағаттандыратын L_n(x) полиномын табайық. Бұл полином келесі формуламен анықталады

. (4)

Расында да, біріншіден, осы құрылған L_n(x) полиномның дәрежесі n-нен артпайды, және, екіншіден, (1) шарт орындалатындықтан, алатынымыз:

Енді, (4) формулада р_і(х)-ті орнына қойып, (3) формуладан алатынымыз:

(5)

Осы (5) полином формуласы – Лагранж интерполяциялыкформуласы.