20. Лаплас операторы үшін Грин формулалары. Класта функцияның интегралды өрнектелуі.

1. Грин функция анықтамасы және оның кейбір қасиеттері

Шенелген аймақ, ал оның шенелген жатық шекарасы болсын және берілсін. Жоғарыда мүндай функция үшін төмендегі интегралдық өрнекті

(51)

алғанбыз, мұндағы болса кеңістіктегі бірлік сфера бетінің ауданы, ал болса Лаплас теңдеуінің іргелі шешімі:

Егер мұндағы - гармониялық функция болса, онда (51) өрнектің оң жағындағы соңғы интеграл нөлге тең болып, нәтижеде пайда болған өрнекті гармониялық функцияның интегралдық кескіні деп атайды. Бұл кескін бойынша гармониялық функцияның аймақтағы өзінің және нормал вектор бойынша туындысы белгілі болса, онда интегралдық өрнек бойынша сол гармониялық функция барлық тұйық аймақта анықталады.

Бірақ гармониялық функция үшін қойылған Дирихле есебінде белгілі де, ал белгісіз; Нейман есебінде керісінше.

Сол шенелген аймаққа айнымалы бойынша гармониялық функция болатын функция енгізейік. және функциялар үшін Гриннің екінші формуласын

(52)

жазайық; оны шамаға көбейтіп (51) - мен, сәйкес мүшелерін қосайық, нәтижеде

(53)

мұндағы

. (54)

Егер еркін алынған гармониялық функцияны болатындай таңдап алсақ, онда соңғы теңдеудегі бар интеграл нөлге айналады. Бұл жағдайда жоғарыдағы Дирихле есебіндегі белгісіз шама болмайды да есеп оңай шешіледі.

Анықтама. Егер (54) өрнектеп алынған функция

1⁰ Лаплас теңдеуінің іргелі шешімімен аргументі бойынша аймақта гармониялық функция қосындысына тең, яғни (54) орынды болса;

2⁰ Ол бетте шартты қанағаттандырса, оны Грин функциясы деп атайды.

2. Бұл функцияның кейбір айқын қасиеттерін қарастырайық

1-қасиеті. функция аргументі бойынша шенелген аймақта жағдайда гармониялық және үзіліссіз функция болады.

2-қасиеті. Грин функциясын құру үшін мына Дирихле есебін

шешу керек.

3-қасиеті. Егер Грин функциясы бар болса, ол жалғыз.

4-қасиеті. Грин функциясы аймақта теріс емес.

1-ескерту. (56) және (58) Дирихле есептерінің (57) және (59) шешімдерінің жалғыздығымен тиянақтылығы сол шешім өрнектерінен шығады.

2-ескерту. Бұл Дирихле есептерінің шешімдерін құруда есептің шешімінің аймақта үзіліссіз дифференциалданатын пайдаландық.

Егер бет Ляпунов типіндегі болса, онда жоғарыдағы шешім үшін орынды.

5-қасиеті. Грин функциясы аргументтерін салыстырғанда симметриялы функция, яғни

және Грин функциясы аргументтерінің біреуін тұрақталса екінші координатасы бойынша Лаплас теңдеуін қанағаттандырады; яғни егер тұрақтандырылса, онда үшін және керісінше .

21. Гармониялық функциялардың қасиеттері 1-теорема. (Нормалдық туындының интегралы). Егер функциясы шенелген аймақта -гармониялық функция болса, онда ол функцияның сол аймақтың сыртында тұрғызылған нормаль туындысы болады

Салдар. Егер Лаплас теңдеуі үшін Нейманның ішкі есебін

қарастырсақ, онда осы есептің шешілуі үшін орындалуы қажетті. 2-теорема. (дифференциалданатыны) Егер u(x) функция D аймақта гармониялық болса, ол сол аймақта шексіз дифференциалданады. 3-теорема. (орта мәні туралы) Егер u(y) функция K(x,R)- шарда гармониялық және тұйық K(x,R) сферада үзіліссіз болса, онда u(x) функцияның сферадағы орта мәні сол сфераның центріндегі мәніне тең, яғни  u(x)=

немесе u(x)= .