15. Тұрақты коэффициентті біртексіз сызықты теңдеуді интегралдау. Оң жағы квази көпмүшелік болған жағдай.
Енді тұрақты коэффициентті біртексіз теңдеуді қарастырайық:
(16)
Мұнда
-сандары
нақты, ал
-
функциясы кейбір
аралығында үздіксіз деп алынады.
Өткен
параграфта көрсетілгендей, біртексіз
сызықты теңдеудің жалпы және дербес
шешімдерін жалпы жағдайда тұрақтыларды
вариациялау арқылы анықтауға болады.
Кейбір жағдайларда
функциясының түріне байланысты шешімді
алгебралық амалдардың көмегімен
интегралсыз-ақ табуға болады.
Айталық, функциясы квазикөпмүшелік түрде берілсін, яғни
(17)
Мұнда
-дәрежесі
-ге
тең көпмүшелік:
(18)
Сонымен,
(19)
Дербес шешімді құрудың екі жағдайы қарастырылады.
-саны
сипаттаушы теңдеудің түбірі емес. Бұл
жағдайда дербес шешім мына түрде
ізделінеді:
(20)
Мұнда
(21)
Осы (20)
өрнекті (19) теңдеуге қойып, алдын ала
функциясына қысқартып,
-тың
әртүрлі дәрежелерінің коэффициенттерін
теңестіретін болсақ,
-
коэффициенттері төмендегідей теңдеулерден
бірмәнді түрде анықталады:
(22)
Мұнда
,
өйткені
-саны
сипаттаушы теңдеудің түбірі емес.
-саны сипаттаушы теңдеудің -еселікті түбірі болсын, яғни
(23)
Бұл жағдайда дербес шешім
(24)
түрінде ізделінеді. Мұнда да (24) өрнекті (19) теңдеуге қоятын болсақ, -сандарын табу үшін төмендегідей алгебралық теңдеулер аламыз:
(25)
Мұнда
болғандықтан, барлық коэффициенттер
бір мәнді түрде анықталады.
Ескерту. Егер (16) теңдеудің оң жағы тригонометриялық квазиполином түрінде берілсе, яғни
түрінде
берілсе, онда
және
функцияларын Эйлер формуласы бойынша
түрінде жазып, алдыңғы жағдайға келтіруге болады.
Мысалдар.
1.
теңдеуінің жалпы шешімін табу керек
болсын. Ол үшін сипаттаушы теңдеу
құрамыз:
.
Бұл теңдеудің түбірлері:
.
Сәйкес дербес шешімдер:
.
Жалпы
шешім:
.
2.
теңдеуінің жалпы шешімін табу керек
болсын. Ол үшін сипаттаушы теңдеу
құрамыз:
.
Бұл теңдеудің түбірлері:
.
Дербес шешімдер:
.
Жалпы
шешім:
.
3.
.
Сипаттаушы теңдеу құрамыз:
немесе
.
Осыдан
.
Жалпы шешім:
.
4.
.
Сипаттаушы теңдеу:
,
.
Біртекті теңдеудің жалпы шешімі:
.
Біртексіздің дербес шешімін:
түрінде іздейміз. Осыдан
болатынын көреміз. Сондықтан, біртексіз
берілген теңдеудің жалпы шешімі
функциясы болады.
16. Сызық дифференциалдық жүйелердің негізгі қасиеттері.
Қарапайым теңдеулер жүйелердің ең маңызды дербес түрі – сызықты жүйелер болып есептелінеді. Оның скалярлық түрдегі жазылуы төмендегідей болады:
(1)
Мұндағы,
және
функциялары кейбір
аралығында анықталған нақты үздіксіз
функциялар деп қарастырылады. Бұл жүйені
былайша жазуға да болады:
(2)
Егер
матрицасын енгізсек, ал
пен
-ты
вектор немесе бір бағаналы матрицалар
деп қарастырсақ, онда берілген жүйені
төмендегідей векторлы-матрицалық түрде
жазуға болады:
(3)
Бұл қатынасты жүйе деумен қатар (оның векторлық мағынасын ескеріп), бір теңдеу деп те айтуға болады.
Әдетте, – вектор-функцияны бос мүше деп атайды. Егер осы бос мүше нөлге тең болса, онда (3) жүйенің орнына оның біртектісін аламыз:
(4)
Бос мүше нөлге тең болмағанда (3) жүйені (4) жүйенің сәйкес біртексізі деп атайды.
Бұл жүйелер үшін Коши есебі мына түрде қойылады: барлық векторлардың ішінен
бастапқы шартын қанағаттандыратын шешімді табу керек. Мұндағы, - берілген бастапқы вектор.
1.2. Сызықты жүйелердің жалпы қасиеттерін келтірейік:
Тәуелсіз айнымалыны үздіксіз дифференциалданатын функция арқылы басқа бір тәуелсіз айнымалымен алмастырғаннан жүйенің сызықтығы өзгермейді.
Шынында
да,
алмастыруын жасайық. Туындыны жаңа
айнымалы арқылы өрнектейік:
Осыдан,
немесе
яғни,
(5)
түріндегі жаңа сызықты жүйеге қайта келдік.
Белгісіз функцияны сызықты түрлендіргеннен жүйенің сызықтығы өзгермейді.
Шынында
да, айталық
түрінде алмастыру
жасалсын.
Мұнда
ерекше емес матрица, яғни оның анықтауышы
нөлге тең емес. Осы қатынастан туынды
алып берілген жүйенің өзін пайдалансақ,
мынандай қатынастар аламыз:
яғни,
Осыдан,
немесе
Мұндағы,
