21.Ляпунов мағынасындағы шешімнің орнықтылығы.Оның геометриялық мағынасы.
Автономды теңдеулердің қалыпты жүйесін қарастырайық:
(1)
Мұндағы
векторы кейбір
облысында анықталған және үздіксіз
дифференциалданатын функция деп
есептелінеді.
Айталық, -нүктесі (1) жүйенің теңбе-теңдік қалпы болсын:
(2)
ал
функциясы жүйенің бастапқы
(3)
шартын қанағаттандыратыг шешім болсын.
Анықтама-1.
Жүйенің теңбе-теңдік қалпы
Ляпунов бойынша орнықты деп аталынады,
егер:
кез келген
саны үшін
теңсіздігін
қанағаттандыратын шешім -ның барлық оң мәндерінде анықталса,
кез келген
саны үшін
саны табылып,
теңсіздігінен
теңсіздігі шықса.
Анықтама-2. Теңбе-теңдік қалып асимптотикалы орнықты деп аталынады, егер ол Ляпунов бойынша орнықты болса және қосымша
шарты орындалса.
Анықтама-3.
Теңбе-теңдік қалып Ляпунов бойынша
орнықсыз деп аталынады, егер қаншалықты
кіші
саны табылмасын,
теңсіздігінен
теңсіздігі шықпаса.
Бұл анықтамалардың бәріне геометриялық түсініктеме беруге болады.
Алдын
ала ескерте кететін жағдай: теңбе-теңдік
қалпы үшін координат жүйесінің бас
нүктесін алуға болады, яғни
деп алуға болады (ол үшін параллельдік
көшіру жасасақ, жеткілікті).
Бұл
жағдайда орнықтылықты қысқаша анықтауға
болады: теңбе-теңдік
қалпы Ляпунов бойынша орнықты деп
аталынады, егер кез келген
саны үшін кейбір
саны табылып, мынандай теңсіздіктер
орындалса:
(4)
Ал асимптотикалық орнықты болу үшін қосымша
(5)
шарты орындалуы керек.
Соңғы теңсіздіктерге төмендегідей геометриялық түсініктеме беруге болады.
Фазалық
кеңістігінде центрлері координат
жүйесінің басында жатқан радиустері
сәйкес
және
сандарына тең центрлес сфералар
жүргізейік. Бұлардың радиустері әртүрлі
қатынаста болуы мүмкін. Айқын болуы
үшін
болсын. Сонда орнықты дегеніміз –
радиусы
-ға
тең сфераның ішінен басталған траектория
радиусы
-ге
тең сфераның ішінен шықпайды дегенді
білдіреді. Ал асимптотикалық орнықты
дегеніміз – радиусы сол
-ға
тең сфераның ішінен басталған траектория
-ның
мәні өскен сайын координат жүйесінің
бас нүктесіне шексіз жақындайды дегенді
білдіреді. Орнықсыздық дегеніміз –
қаншалықты кіші мәнді
саны табылмасын, кіші сфераның ішінен
басталған траектория белгілі бір
мезеттен бастап үлкен сфераның сыртына
шығады дегенді білдіреді.
22. Бірінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеу
,
облысында анықталған
(1.4.1)
сызықты
біртекті дифференциалдық теңдеуін
қарастырайық. Мұндағы
,
ал
-
облысында
тәуелсіз айнымалылары бойынша үзіліссіз
дифференциалданатын және бір уақытта
нөлге айналмайтын берілген функциялар.
1-анықтама.бірінші
ретті дифференциалдық теңдеудің шешімі
деп
облысында анықталған өзінің бірінші
ретті дербес туындылары мен үзіліссіз
және
тәуелсіз айнымалылары бойынша (1.4.1)
теңдеуді тепе-теңдікке айналдыратын
функциясын айтады. (1.4.1) теңдеумен қатар
осы теңдеуге сәйкес келетін
(1.4.2)
жай дифференциалдық теңдеулер жүйесін қарастырайық. (1.4.2) теңдеулер жүйесін
(1.4.3)
симметриялық формада да жазуға болады.
2-анықтама. жай дифференциалдық теңдеулер жүйесін (1.4.1) бірінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеудің характеристикалық теңдеулер жүйесі, ал оның интегралдық қисықтарын (1.4.1) теңдеудің характеристикалары деп атайды.
коэффиценттеріне
қойылған шарттан (1.4.2) немесе (1.4.3) жүйесі
үшін
облысының әрбір нүктесі арқылы жалғыз
интегралдық қисық өтетін болады.
(1.4.4)
(1.4.2) жүйенің шешімі (интегралдық қисығы ) болсын.
3-анықтама.
Егер
функциясы (1.4.2) жүйенің әр бір интегралдық
қисығында тұрақтыға тепе-тең болса,
яғни
,онда
теңдеуін осы жүйенің бірінші интегралы
деп атайды. 1-теорема.
функциясы сызықты біртекті дербес
туындылы теңдеудің шешімі болу үшін
жай дифференциалдық теңдеулер жүйесінің
бірінші интегралы болуы қажетті және
жеткілікті.Дәлелдеуі. Қажеттілігі
(1.4.1)теңдеудің шешімі болсын. Онда
.
Екінші
жағынан (1.4.4) интегралдық қисық бойында
функциясы тек
аргументіне байланысты болады, яғни
,сондықтан
.
-
(1.4.2) жүйенің шешімі болғандықтан,
.
Олай болса, жай дифференциалдық теңдеулер жүйесінің бірінші интегралы болады.Жеткіліктігі. жай дифференциалдық теңдеуінің бірінші интегралы болсын. Онда (1.4.4) интегралдық қисық бойында
.Сондықтан
.
-
дифференциалдық теңдеулер жүйесінің
шешімі болғандықтан,
ү
Олай болса
,
Яғни,
функциясы сызықты біртекті дербес
туындылы дифференциалдық теңдеудің
шешімі болады.
1–мысал.
- облысында
теңдеуінің
шешімін табу керек.
Шешімі.
1-қадам. Берілген дербес туындылы дифференциалдық теңдеуге сәйкес келетін жай дифференциалдық теңдеулер жүйесін аламыз:
2-қадам. Интегралдық комбинациялар құрамыз:
,
,
Бұдан
,
,
теңдеулері жай дифференциалдық
теңдеулер жүйесінің бірінші интегралдары
болатындығын көреміз. Сондықтан 1.4.1-
теорема тұжырымы бойынша
,
функциялары - облысында берілген дербес туындылы дифференциалдық теңдеудің шешімдерін анықтайды.
,
,
....,
- облысында анықталған (1.4.2) жай дифференциалдық теңдеулер жүйесінің бірінші интегралдары болсын. Егер
Якобианы
облысында нөлден өзгеше болса (егер
-тәуелсіз
айнымалы және
облысында
болса), онда
бірінші интегралдары сызықты тәуелсіз
болады
2-теорема. Егер облысында , жай дифференциалдық теңдеулер жүйесінің сызықты тәуелсіз бірінші интегралдары болса, онда
(
-кез-келген
өзінің аргументтері бойынша үзіліссіз
дифференциалданатын функция,
)
функциясы (1.4.1) дербес туындылы
дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін
анықтайды.