Доказать, что формула является тавтологией
3.6.
Тавтологией называется сложное высказывание, истинное при любых значениях, входящих в него.
1 способ:
-
A
B
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
Т.к. при всех значениях A и B высказывание истинно, то данная формула является тавтологией.
2 способ:
Доказать полноту (неполноту) систем булевых функций
Класс функций F называется полным, если его замыкание совпадает с Pn:
.
Другими словами, множество функций F образует полную систему, если любая функция реализуема в виде формулы над F.
{|}
Система {|} – полная, т. к.
Получить сднф для формул, а затем перейти к скнф:
5.4.
- ДНФ (дизъюнктивная нормальная форма)
– дизъюнкция элементов, каждый из
которых представляет собой конъюнкцию
отдельных различных логических переменных
либо со знаком отрицания, либо без него.
СДНФ (совершенная ДНФ) – это такая ДНФ, в которой каждая элементарная конъюнкция содержит все элементарные высказывания, либо их отрицания по одному разу, элементарные конъюнкции не повторяются.
Построим СДНФ для формулы по таблице истинности:
x |
y |
z |
xy |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
Выделим все наборы переменных, для которых функция принимает значение 1 и каждому набору поставить в соответствие конъюнкцию переменных и их отрицаний. Рассматриваемая функция будет представлена дизъюнкцией этих конъюнкций.
Переход к СКНФ:
СКНФ (совершенная КНФ) – это такая КНФ (конъюнкция элементов, каждый из которых представляет собой дизъюнкцию логических переменных со знаком отрицания или без него), в которой каждая элементарная дизъюнкция содержит все элементарные высказывания, либо их отрицания по одному разу, элементарные дизъюнкции не повторяются.
