Задача 1

Банк выдал ссуду на 35 дней в размере 80 тыс. руб. под простую процентную ставку 30% годовых. Рассчитать доход банка, если при начислении простых процентов считается, что в году: а) 360 дней; б) 365 дней.

Решение: :

Пускай P = 80000 руб.

r = 0.30 – простая процентная ставка

t = 35 – продолжительность операции в днях

T – кол-во дней в году а) 360 дней; б) 365 дней.

а) руб.

б) руб.

Ответ: Доход банка а) 2333 рубля, б) 2301 рубль.

Задача 2

Векселедержатель 20 февраля предъявил для учета вексель со сроком погашения 31 марта того же года. Банк учел вексель по простой учетной ставке 30 % годовых и выплатил клиенту 19 тыс. руб. Какой величины комиссионные удержаны банком в свою пользу, если год високосный?

Решение:

где P = 19000 рублей,

d = 0.30,

t = 40 дней (с 20 февраля по 31 марта),

Т = 366, т.к. год високосный, имеем

рублей.

Комиссионные банка определяются как: F – P = 19640 – 19000 = 640 рублей.

Ответ: комиссионные удержаны в размере 640 рублей.

Задача 3

За какой срок исходная сумма в 15 тыс. руб. возрастет до 50 тыс. руб., если сложные проценты по процентной ставке 28 % годовых начисляются: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) ежемесячно?

Решение: При F = 50000 руб., P = 15000 руб., r = 0.28,

а) m = 1, б) m = 4, в) m = 12.

Срок определим по формуле:

а)

б)

в)

Ответ: исходная сумма в 15 тыс. руб. возрастет до 50 тыс. руб. при начислении процентов ежегодно за 4,9 года; при начислении процентов ежеквартально 4,5 года; при начислении процентов ежемесячно за 4,4 года.

Задача 4

Какую сумму необходимо поместить в банк под сложную процентную ставку 30 % годовых, чтобы накопить 400 тыс. руб.: а) за 6 лет при ежегодном начислении процентов; б) за 4 года при ежемесячном начислении процентов?

Решение: Пусть F = 400000 руб.; r = 0.30;

Для решения задачи воспользуемся формулой .

а) m = 1, n = 6, то рублей;

б) m = 12, n = 4, то рублей.

Ответ: необходимо поместить в банк а) на 6 лет при ежегодном начислении процентов 82,868 тыс. руб.; б) на 4 года при ежемесячном начислении процентов 122,287 тыс. руб.

Задача 5

Вы имеете вексель на сумму 150 тыс. руб. и хотели бы при его учете по сложной учетной ставке за 2 года до срока погашения получить 3/5 этой суммы. Какая должна быть годовая учетная ставка при дисконтировании поквартально?

Решение: По формуле , при P = 3/5F=3/5∙150000=90000 руб., n = 2, m = 4, получим

Ответ: годовая учетная ставка = 24.8%.

Задача 6

Рассчитайте эффективную годовую процентную ставку, если номинальная ставка равна 10 % годовых и проценты начисляются: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) ежемесячно.

Решение: Для решения воспользуемся формулой: , где r_e – эффективная ставка, r = 0,10 – простая процентная ставка.

Рассчитаем эффективную годовую ставку для каждого варианта:

а) m = 1 – количество начислений в году,

б) m = 4– количество начислений в году,

в) m = 12– количество начислений в году,

Ответ: Эффективная годовая процентная ставка равна при начислении процентов а) ежегодно – 10 %; б) ежеквартально – 10,38 %; в) ежемесячно – 10,47%.

Задача 7

На вклад в течение 18 месяцев начисляются проценты: а) по схеме сложных процентов; б) по смешанной схеме. Какова должна быть годовая процентная ставка, при которой происходит реальное наращение капитала, если каждый квартал цены увеличиваются на 12 %.

Решение:

а) Так как темп инфляции за каждый квартал равен 12 %, то индекс инфляции за каждый квартал (0,25 года) равен 1,12. Поэтому индекс инфляции за 18 месяцев (6 кварталов или 1,5 года) составит:

Обозначим через r искомую годовую процентную ставку и приравняем этот индекс инфляции к множителю наращения при использовании схемы сложных процентов:

(1+r)^1,5 = 1,9738.

Отсюда:

. Таким образом ставка должна превышать 56,64 % годовых.

б) приравнивая индекс инфляции за 18 месяцев к множителю наращения и получим квадратное уравнение относительно r:

,

Определим корни r = -3,562, r = 0,562. Очевидно, что по смыслу первый корень не подходит.Следовтельно, при использовании смешанной схемы ставка должна превышать 56,20 % годовых,.

Начисление процентов по смешанной схеме более эффективно, чем в первом случае.

Ответ: а) r > 56.64%, б) r > 56.20 %.

Задача 8

Клиент в конце каждого года вкладывает 30 тыс. рублей в банк, начисляющий сложные проценты по ставке 10 % годовых. Определите сумму, которая будет на счете клиента через: а) 3 года; б) 8 лет; в) 15 лет. Как изменятся найденные величины, если деньги вкладываются в начале года?

Решение: Для определения суммы, которая будет на счете клиента, воспользуемся формулой ,

вычислим по формуле . Пусть А = 30, r = 10% = 0,10.

а) n = 3, то ;

тыс. руб.

б) n = 8, то

тыс. руб.

в) n =15, то

тыс. руб.

Если платежи будут поступать в начале года суммы изменяться следующим образом:

а) ;

тыс. руб.

б)

тыс. руб.

в)

тыс. руб.

Ответ: если вклад вносить в начале года сумма увеличивается.

Задача 9

Клиент хочет накопить 800 тыс. руб., осуществляя в конце каждого года равные вклады в банк под сложную процентную ставку 16 % годовых. Какой величины должен быть вклад, чтобы накопить требуемую сумму: а) за 5 лет; б) 10 лет.

Решение: Воспользуемся формулой . И найдем А:

. вычислим непосредственно по формуле .

1) FV = 800, r = 16 % = 0,16, n = 5. ,

тыс. руб.

2) FV = 800, r = 16 % = 0,16, n = 10. ,

тыс. руб.

Ответ: чтобы накопить требуемую сумму клиент должен вкладывать в конце каждого года а) за 5 лет 116,328 тыс. руб., б) за 10 лет 37,521 тыс. руб.

Задача 10

Какую сумму необходимо поместить в банк под процентную ставку 20 % годовых, чтобы в течение 9 лет иметь возможность ежегодно получать по 120 тыс. руб., снимая деньги равными долями каждые 2 месяца и в конце девятого года исчерпать счет полностью, если банком начисляются сложные проценты: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) ежемесячно?

Решение: Определим приведенную стоимость аннуитета постнумерандно, при

А = 20 тыс. руб., так как деньги снимаются равными долями каждые 2 месяца, т.е. 6 раз в год 12 / 2 = 6; А = 120 / 6 = 20 тыс. руб.; n = 9∙6 = 54; r = 20 % / 6 = 0,0333; m = 1.

Воспользуемся следующей формулой:

.

тыс.руб.

б) А = 120 / 6 = 20 тыс. руб.; n = 9∙6 = 54; r = 20 % / 6 = 0,0333; m = 4; p = 1.

В данном случае воспользуемся формулой

; ;

тыс.руб.

в) А = 120 / 6 = 20 тыс. руб.; n = 9∙6 = 54; r = 20 % / 6 = 0,0333; m = 12; p = 1.

Воспользуемся формулой .

; ;

тыс.руб.

Ответ: необходимо поместить в банк под процентную ставку, если сложные проценты начисляются: а) ежегодно – 497,87 тыс. руб.; б) ежеквартально – 493,906 тыс. руб.; в) ежемесячно – 492,977 тыс. руб.

Задача 11

Фирма намеревается выпускать некоторую продукцию в течение 4 лет, получая ежегодно выручку в размере 50 млн. руб. Предполагается, что продукция в течение года будет продаваться равномерно. Оцените ожидаемый доход фирмы, если применяется непрерывная ставка 22 % за год.

Решение: Для определения дохода фирмы воспользуемся следующими формулами: ,

Считая, что денежные поступления происходят непрерывно. Пологая =50 млн. руб., n = 4, у = 0,22, получим:

млн. руб.

млн. руб.

Ответ: будущая стоимость непрерывного аннуитета составляет 320,659 млн. руб., приведенная стоимость – 133,004 млн.руб.