Задачи для самостоятельного решения

1. Произвести изоляцию корней для уравнений:

= 0,25; = 0; = 0.

Ответы:

2. Решить уравнения из 1-ой задачи, используя разные методы, с точностью .

Ответы:

Литература:

[1], гл. IV, работы №2 - 5.

[2], часть 2, гл IX, §1, №1164 – 1167,1169-1177.

[3], гл. X, §3, №3141 – 3155, 3158, 3159.

[5], гл. III, §3.3 – 3.8, упражнения №1 – 4 к главе III.

§3 Нормы вектора и матрицы

Нормой вектора называют некоторую числовую функцию компонент вектора, удовлетворяющую определенным свойствам. Аналогично может быть определена норма матрицы А. При этом норму матрицы вводят так, чтобы она была определенным образом связана (согласована) с используемой нормой вектора. Такие матричные нормы называют согласованными. Наименьшая из согласованных матричных норм носит название подчиненной или операторной нормы.

Для вектора , могут быть, в частности, введены следующие нормы:

;

;

- евклидова норма.

Соответствующие подчиненные нормы матрицы А вводятся следующим образом:

; (1)

; (2)

. (3)

где i – номер строки, j – номер столбца матрицы A, , ₁ - максимальное по модулю собственное число матрицы А^ТА. Первые две матричные нормы легко вычисляются. Что касается последней, то она часто бывает удобной для анализа, но непосредственное вычисление ее в общем случае затруднительно. Поэтому в приведенных ниже примерах и задачах как правило не вычисляется.

Задачи

1. Вычислить нормы векторов: X = (2, -2, 1)^T и Y = (2, 0, -3, 1)^T.

Решение. .

2. Найти нормы матриц:

и .

Решения.

; ;

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти нормы векторов i = (1, 0, 0)^T , z = (1, 2, 3, -4)^T.

Ответы: .

2. Найти нормы матрицы .

Ответы:

Литература:

[4], т.II, гл. 6, §7.

[5], гл. II, §2.5, упражнение №7 к §2.

§4 Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей

Постановка задачи. Дана система линейных уравнений , где

; .

Требуется найти решение системы – вектор . Если матрица системы А – невырожденная, то система имеет единственное решение.

Все методы решения поставленной задачи можно разбить на две группы – прямые итерационные методы.

Прямые методы решения позволяют найти Х* за конечное число шагов. Если исходные данные – точные, то, производя вычисления без округлений (в простых дробях), мы получаем точное решение системы. Однако, при больших это невозможно. При решении все промежуточные вычисления осуществляют с одним-двумя запасными знаками, а результат округляют до требуемой точности, либо оставляют столько знаков после запятой, сколько их в исходных данных (коэффициентах системы).

Погрешность полученного решения характеризует норма вектора невязки , т.е. число .

4.1 Метод Гаусса

Дана система уравнений (1). Будем считать, что матрица системы А – неособенная. Требуется найти решение системы – вектор Х*.

Метод Гаусса - это метод исключения. На k-ом шаге осуществляется исключение неизвестной из уравнений с номерами i > k, k = 1,…n -1. В результате, за n -1 шаг матрица А приводится к верхнему треугольному виду (прямой ход). Система приобретает вид:

После этого легко найти неизвестные (обратный ход). Различные реализации метода Гаусса отличаются способом выбора ведущего элемента.