Задача 1

Дана симметричная матрица:

Используя метод Гивенса, привести А к трехдиагональному виду. Точность вычислений 0,01.

Решение. Для приведения матрицы А к трехдиагональному виду нужно обнулить три элемента: а₁₃, а₁₄, а₂₄. Для этого необходимо построить три матрицы вращения: Т₂₃, Т₂₄ и Т₃₄ . Будем считать . Результаты вычислений приведены в таблице.

№ шага k	i, j, c, s
1	i = 2 j = 3 c = -0,949 s = -0,316	-2 3,162 0 1 3,162 -0,4 2,2 -0,949 0 2,2 0,4 2,846 1 -0,949 2,846 -2
2	i = 2 j = 4 c = 0,953 s = -0,302	-2 3,317 0 0 3,317 -1,091 2,956 -1,236 0 2,956 0,4 2,051 0 -1,236 2,051 -1,309
3	i = 3 j = 4 c = 0,923 s = 0,386	-2 3,317 0 0 3,317 -1,091 3,204 0 0 3,204 -1,314 2,048 0 0 2,048 0,405

Ответ:

Задача 2 (для самостоятельного решения)

Дана матрица:

При помощи метода Гивенса привести ее к левому почти треугольному виду. Точность 0,001

Ответ: .

8.2 Метод Якоби и схема его реализации для получения собственных значений матрицы

Метод Якоби – итерационный метод, предназначенный для определения собственных значений симметричной матрицы А, которая при помощи цепочки подобных преобразований приводится (с определенной точностью) к матрице диагонального вида D. В процессе работы метода строится последовательность матриц , где , , которая сходится к матрице D . Процесс считают законченным, когда

, где - элементы матрицы А_k .

(Напомним, что все собственные значения вещественной симметричной матрицы – действительные числа ₁, ₂, . . . _n, поэтому после получения матрицы D их значения находятся на главной диагонали D).

Иногда для ускорения сходимости A_k  D предварительно приводят матрицу А к трехдиагональному виду с использованием метода Гивенса (см. п. 8.1).

Матрицы , которые используются в методе Якоби – это матрицы вращения (см. п. 4.5.1), в которых элементы и вычислены по формулам

; ;

где .

При умножении обнуляются элементы a_ji и a_ij матрицы , т.е. = 0. При этом матрица остается симметричной, ее собственные значения не изменяются. Однако, на каждом шаге «портятся» обнуленные на предыдущих шагах элементы матрицы, поэтому процесс приведения А к D в общем случае бесконечен.

Различные схемы реализации метода Якоби зависят от правил выбора i, j на каждом шаге. Перечислим некоторые схемы, для которых сходимость итерационного процесса доказана.