2.3.2 Модификации метода Ньютона

Для решения уравнения в общем случае можно использовать следующие модификации метода Ньютона.

1). Метод Ньютона с регулировкой шага.

(7)

Здесь - константа, регулирующая длину шага. Если , то выполняется неполный ньютоновский шаг. Процесс может быть стационарным, если не зависит от k. Регулировка длины шага позволяет обеспечить сходимость метода для достаточно произвольно выбранного значения .

2). Конечно-разностный метод Ньютона – Рассела.

(8)

Здесь - шаг конечно-разностной аппроксимации производной. Эта модификация лишена одного из недостатков метода Ньютона – не нужно вычислять производную .

2.3.3 Метод хорд и касательных

Преимущество этого метода в том, что при тех же предположениях относительно и , что и в методе Ньютона, мы получаем последовательные приближения и , лежащие по разные стороны от , поэтому можно следить за достигнутой точностью в процессе решения. Пусть и не меняют знак на .

Если , то расчеты ведут по формулам:

(9)

Если , то

(10)

За начальный промежуток принимают . В результате расчетов получаем последовательность вложенных промежутков , таких, что . В качестве критерия остановки расчетов может быть использовано выполнение неравенства: . Тогда приближенное решение считают равным .

Задачи

1. Уточнить корень уравнения ( ) методом деления отрезка пополам. Точность .

Решение. Так как процесс вычисления этим методом сходится медленно, уменьшим промежуток изоляции. Возьмем [-0,5; -0,2] [-1; 0]. Проверка: , следовательно, . Теперь уточняем корень.

Номер шага . .

Затем .находим . Вычисления производим с запасным десятичным знаком. Результаты расчетов заносим в таблицу. (Стрелки указывают перенос значений при и ).

0	-0,5	-0,2	-0,35	-0,331 <0
1	-0,5	-0,35	-0,425	0,055 >0
2	-0,425	-0,35	-0,3875	-0,139 <0
3	-0,425	-0,3875	-0,406	-0,044 <0
4	-0,425	-0,406	-0,416	0,008 >0
5	-0,416	-0,406	-0,411

Процесс закончен, т.к. :

Ответ: .

2. Составить расчетные формулы для определения методом простых итераций корней уравнения . Найти один из корней с точностью . Корни уравнения лежат в промежутках: (см. п. 2.1).

Решение. Для уточнения и можно использовать функцию , полученную из уравнения. Здесь ; . Условие сходимости выполнено и на промежутке [-1; -0,5], и на [1; 1,5], т.к. , если [-1; -0,5] и , если [1; 1,5]. Значит, для уточнения этих корней можно использовать расчетную формулу , .

Для уточнения эта формула не годится, т.к. терпит бесконечный разрыв в точке = -0,2 . Можно из исходного уравнения выразить по-другому: . Здесь . Условие выполнено при [-0,5; 0].

Уточним корень , используя формулу . В качестве можно взять любую точку промежутка изоляции, например, . Дальнейшие расчеты приведены в таблице.

0	-0,25
1	-0,20098
2	-0,20033

Расчеты закончены, т.к. 0,001. Ответ: .

3. Найти один из корней уравнения методом касательных и методом хорд с точностью 0,01.

Решение. Изоляция корня. Уравнение имеет 2 корня, причем . Проверка (для второго корня): .

Уточнение корня. а) Метод касательных.

Функция непрерывная, дважды дифференцируемая, . В качестве нужно взять тот конец промежутка [1; 2], где . Т.к. , то . Результаты расчетов приведены в таблице.

k
0	2	2	4	1,5
1	1,5	0,25	3	1,417
2	1,417	0,008

Вычисления прекращаем, т.к. . Ответ: .

б) Метод хорд . Производные сохраняют знак на промежутке [1;2], т.к. и . Поскольку выполнено условие , считаем, что . Далее вычисляем по формуле:

.

Результаты расчетов заносим в таблицу.

k
0	1	-1
1	1,333	-0,222
2	1,400	-0,04
3	1,412	-0,007

Вычисления прекращаем, т.к. . Ответ: .