2.2.2 Метод простой итерации

Уравнение

(1)

тем или иным образом разрешают относительно х и приводят к виду

. (2)

Затем, начиная с некоторого , по рекуррентной формуле:

.

строится последовательность .

В качестве начального приближения можно взять любую точку из промежутка изоляции . Для сходимости метода достаточно обеспечить выполнение условия:

, (3)

(чем ближе к нулю, тем быстрее фактическая сходимость).

В качестве критерия остановки расчетов может быть использовано выполнение соотношения: . Приближенное значение корня – последнее вычисленное значение x, т.е. .

Метод простой итерации прост в реализации, сходится при выполнении достаточных условий сходимости, например, (3).

2.2.3 Метод хорд

Если известно, что корень уравнения

(1)

, а функция непрерывна на и имеет производные и , которые сохраняют знак на , то для уточнения можно использовать метод хорд в приведенной ниже редакции.

В качестве берут тот конец промежутка , где и имеют противоположные знаки. Итерационный процесс построения последовательности , сходящейся к описывается формулами:

если , (4)

и если (4а)

где

В первом случае на каждом шаге находят точку пересечения хорды графика , проходящей через точки и с осью ОX (см. рисунок). На следующем шаге строят хорду, проходящую через точки и и т.д. Все значения дают приближение корня с недостатком. Во втором случае неподвижной точкой является , и значения дают приближение корня с избытком.

В знаменателях формул (4) и (4а) стоит разность значений функции, которая вблизи корня становится малой, что ведет к потере значащих цифр. Это ограничивает точность расчетов, особенно для случая кратного корня . Поэтому метод хорд используют до тех пор, пока убывает. Далее для уточнения корня можно использовать другой способ, например, метод деления отрезка пополам.

Критерий остановки расчетов: . Приближенным значением корня функции f(x) считают последнее вычисленное значение: .

В общем случае метод хорд можно записать с помощью следующего соотношения:

k = 0,1,2,.. (4b)

За начальный промежуток принимают . После вычисления по формуле (4b) новый промежуток формируется на основании сравнения знака функции в точке и в точках .

2.3 Уточнение корней при помощи методов, использующих производные

Одним из наиболее эффективных с точки зрения скорости сходимости методов решения нелинейных уравнений является метод Ньютона-Рафсона.

2.3.1 Метод Ньютона – Рафсона (метод касательных)

Пусть по-прежнему - корень уравнения

(1)

и . Будем считать, что на функция имеет производные и , причем , а сохраняет знак на . Если начальное приближение взять так, чтобы было выполнено условие

(5)

то последовательность , где

(6)

будет монотонно сходиться к решению уравнения - точке . Геометрический смысл формулы (6) заключается в том, что на каждом шаге определяется - точка пересечения касательной к графику функции , проведенной в точке , с осью OX. На следующем шаге касательную строим в точке и т.д.

Метод Ньютона сходится быстрее метода хорд, для него справедливо при указанных выше свойствах функции f(x) соотношение

² ,

что соответствует так называемой квадратичной скорости сходимости. Этот метод не обладает свойством глобальной сходимости, при выборе нужно следить за выполнением условия (5). К недостаткам метода Ньютона - Рафсона следует отнести также необходимость вычисления на каждом шаге метода не только значения функции, но и ее производной, что на практике может существенно увеличить объем вычислений, требуемых для выполнения каждой итерации метода.