Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислить , если Оценить погрешность результата.

Ответ:

2. Даны два приближенных числа: = 25,1; = 17,43. Вычислить . Оценить погрешности результатов.

Ответы: = 42,5; = 0,055; = 0,001;

= 7,7; = 0,055; = 0,007;

= 437; = 0,002; = 0,9;

= 1,44; = 0,002; = 0,003.

3. Вычислить . Найти число верных знаков в ответе.

Ответ: . Нет верных знаков.

4. Вычислить с точностью .

Ответ: = 6,61.

1.3 Погрешности вычисления значения функции

Если значение аргумента функции -приближенное число , то погрешность значения функции оценивают по формуле:

, где максимум производной - это ее наибольшее (по модулю) значение на промежутке .

Погрешность значения функции 2-х аргументов можно оценить формуле: , где максимум частных производных находят среди всех значений в области

D = (x,y)/ x-x  x*  x+x ; y-y  y*  y+y.

Аналогично определяется погрешность значения функции n переменных : , где максимум частных производных находят среди всех значений в области

.

Задачи

1. Объем шара: = 2,03 0,01. Найти .

Решение. ; . Ответ: = 35,04 0,52.

2. . Найти .

Решение.

т.е. = 10,1 0,0101; = 4,6 0,0046. Погрешность функции:

.

. Ответ: .

Задачи для самостоятельного решения

1. В прямоугольном треугольнике катет , гипотенуза . Найти синус угла, лежащего напротив и оценить погрешность. Ответ: .

2. Период колебаний простого маятника . Доказать, что

3. Вычислить удельный вес металла и оценить погрешность результата, если металлический цилиндр диаметром 2 см и высотой 11 см весит 93,4 г. Относительная погрешность измерения длин равна 0,01, а относительная погрешность взвешивания 0,001. Ответ: =2,70 0,08.

Литература:

[1], гл. I, работы №1, №2.

[3], гл X, §1 №3108 – 3124.

[4], т. I, гл. I, §1 – 4.

[5], гл. I, §1.1 – 1.10, упражнения к §1.

[6], гл. I, §1 – 5.

§2 Методы решения нелинейных уравнений

В этом параграфе рассматриваются методы решения нелинейных уравнений. В общем случае требуется найти решения уравнения (или, иначе говоря, корень функции ), где - нелинейная функция одной переменной. Все рассматриваемые в параграфе методы ориентированы на отыскание одного из возможных корней функции. Поэтому, если имеет более одного корня, то для отыскания каждого из них потребуется отдельное применение метода.

Использование каждого из методов вычислений предполагает, что известен отрезок , внутри которого содержится хотя бы один корень функции. На практике определение такого отрезка часто требует отдельной процедуры и носит название этапа отделения или изоляции корня. Этот этап рассмотрен в первой части параграфа.

Полученный на этапе отделения корня отрезок затем последовательно уменьшается и значение корня функции в результате определяется с требуемой точностью. Этот процесс носит название этапа уточнения корня. Именно он реализуется с помощью различных методов, называемых методами решения нелинейных уравнений и рассматриваемых в последующих частях параграфа.

Для простоты в ходе дальнейшего изложения предполагается непрерывность функции , что обеспечивает необходимые свойства большинства рассматриваемых в параграфе методов. Если требуются более жесткие условия на функцию, то они оговариваются особо.