Задачи для самостоятельного решения
Округлить числа до верных знаков :
;
;
3,78,
.
Ответы:
84;
0,08;
4.
В результате измерения получены верные в написанных знаках числа: =
;
=
18,5 см;
=
2,215 кг. Найти относительные погрешности
этих чисел. Указание: число
перевести в секунды.
Ответы:
4
;
0,003; 2
3.
Какое из чисел определено более точно:
= 3,14 или
=
2567 ?
Указание:
сравнить
и
. Ответ:
определено точнее.
1.2 Погрешности арифметических операций
Основные
формулы: 
;
; 
;
; 
.
Следует запомнить:
при операциях сложения и вычитания суммируются абсолютные погрешности;
при умножении, делении суммируются относительные погрешности, при возведении в степень справедлива формула:
.
В практических вычислениях обычно используют следующее правило, основанное на приведенных выше формулах для погрешностей арифметических операций: при выполнении арифметических операций все промежуточные вычисления осуществляют с одной-двумя запасными цифрами по сравнению с желаемым результатом, а затем результат округляют:
- при сложении и вычитании - до наименьшего десятичного разряда в слагаемом с наибольшей абсолютной погрешностью;
- при умножении, делении и возведении в степень – до минимального количества значащих цифр в тех числах, с которыми оперировали.
Задачи
1.
Найти относительную погрешность
результата вычитания приближенных
чисел:
=
1,32 - 0,7.
Решение.
=
= 0,055;
. Ответ:
.
2.
Сложить приближенные числа:
=
1,1732 + 217,45 + 0,0003 + 4,4.
Решение. Округляем все числа до десятых плюс один знак и складываем их: 1,17
+217,45
0,00
4,4
2
23,02
Ответ округляем до десятых (минимальное количество десятичных знаков после запятой было у числа 4,4). Ответ: = 223,0.
3. Вычислить произведение чисел = 3,49 и = 8,6 (записаны в верных знаках). Оценить погрешность результата и округлить его до верных цифр.
Решение.
Вычисляем произведение с запасными
знаками:
=
30,014. Погрешности:
=
0,0014 + 0,0058 = 0,0072.
При
округлении до 2-х значащих цифр ошибка
= 0,216 + 0,014 = 0,23 < 0,5, т.е. в ответе 2 верные
значащие цифры. Ответ:
=
30.
4. Выполнить деление приближенных чисел, если они записаны в верных знаках: = 5,684 : 5,032 . Округлить результат до верных цифр.
Решение.
.
Вычислим погрешности:
0,000088
+ 0,000099 = 0,00019;
.
Округляем
результат: 1,12957
1,130.
Суммарная ошибка
= 0,00021+0,00043 = 0,00064 > 0,0005. Еще раз округляем
результат:
=
1,13. Суммарная ошибка
= 0,00064 < 0,005.
Ответ: = 1,13.
5.
Вычислить
,
оценить относительную погрешность
результата. Ответ записать в верных
цифрах.
Решение.
Вычислим корни с точностью до 0,001:
;
;
=
5,916 - 5,831 = 0,085.
При
округлении до десятых
=
0,1;
=
0,001+0,015 > 0,016 < 0,05. Ответ:
=
0,1
Сравним относительные погрешности слагаемых и результата.
,
,
но
.
Произошла большая потеря точности при
вычитании близких чисел. Используем
другой метод.
.
.
В числе
все
цифры верные.
Ответ: = 0,085.
6.
Вычислить
,
если
=
1,5;
=
2,31;
= 0,65 (числа записаны в верных знаках).
Оценить погрешность результата.
Решение. Вычислим x с запасными десятичными знаками:
Погрешности:
0,033;
=
0,5
=
0,003;
=
=
0,033 + 0,003 = 0, 036;
Ответ:
7.
Вычислить
с точностью
.
Решение.
Результат должен удовлетворять условию:
.
Используем принцип равных влияний:
вычислим слагаемые с одинаковой
точностью, выбирая ее так, чтобы
погрешность результата была не больше
.
Если
взять
3,
142 и
1,732,.