1. Классическая схема Якоби. На каждом шаге выбирают максимальный по модулю недиагональный элемент матрицы : и строят матрицу для обнуления этого элемента.

2. Циклическая схема. Заранее выбирают последовательность, в которой будут строиться матрицы в каждом цикле, например по строкам: T₁₂ , T₁₃ , , . . T_1n , затем T₂₃ , Т₂₄ , . . . T_2n и т.д. или по столбцам. После завершения цикла его повторяют, пока не будет выполнено .

3. Процесс с преградами. Задают последовательность чисел h₁ > h₂ > . . ... > h_S > 0 . На первом этапе обнуляют те недиагональные элементы матрицы А , которые по модулю больше h_{1 ,} когда таких элементов не остается, переходят к следующей «преграде» h₂ и т.д.

Если все собственные значения матрицы А различны, то не более, чем за итераций все недиагональные элементы матрицы будут иметь порядок .

Задача

Найти собственные значения матрицы А из условия задачи 1

п. 8.1. Точность  = 0,01.

Решение: Воспользуемся трехдиагональным видом, к которому удалось привести матрицу А при помощи метода Гивенса и будем считать ее начальным приближением:

Вычислим = 2(3,32² + 3,20² + 2,05²) = 50,930 > .. Будем использовать классическую схему метода Якоби. Максимальный по модулю недиагональный элемент а₁₂ = 3,32 , поэтому на первом шаге строим матрицу Т₁₂ .

Дальнейшие преобразования матрицы А приведены в таблице. Расчеты проводим с точностью 0,001.

Номер шага k	i , j , d , c , s		t2(Ak)
1	i = 1; j = 2 d = 6,702 c = 0,754 s = 0,657	-4,896 0 -2,104 0 0 1,806 2,411 0 -2,104 2,411 -1,31 2,05 0 0 2,05 0,41	28,885
2	i = 2; j = 3 d = 5,742 c = 0,878 s = -0,478	-4,896 -1,006 -1,847 0 -1,006 3,119 0 0,980 -1,847 0 -2,623 1,800 0 0,980 1,800 0,41	17,255
3	i = 1; j = 3 d = 4,338 c = 0,873 s = -0,488	-5,929 -0,878 0 0,878 -0,878 3,119 0,491 0,980 0 0,491 -1,590 1,572 0,878 0,980 1,572 0,41	10,429
4	i = 3; j = 4 d = 3,726 c = 0,877 s = 0,481	-5,929 -0,878 -0,423 0,770 -0,878 3,119 -0,042 1,095 -0,423 -0,042 -2,453 0 0,770 1,095 0 1,273	5,489
5	i = 2; j = 4 d = 2,865 c = 0,907 s = -0,422	-5,929 -0,472 -0,423 1,068 -0,472 3,628 -0,038 0 -0,423 -0,038 -2,453 0,018 1,068 0 0,018 0,763	3,088
6	i = 1; j = 4 d = 7,025 c = 0,988 s = 0,154	-6,095 -0,466 -0,420 0 -0,466 3,628 -0,038 -0,073 -0,420 -0,038 -2,453 -0,048 0 -0,073 -0,048 0,930	0,805
7	i = 1; j = 2 d = 9,768 c = 0,999 s = - 0,048	-6,117 0 -0,422 -0,003 0 3,651 -0,018 -0,072 -0,422 -0,018 -2,453 -0,048 -0,003 -0,072 -0,048 0,930	0,371
8	i = 1; j = 3 d = 3,760 c = 0,994 s = -0,113	-6,165 -0,002 0 -0,009 -0,002 3,651 -0,017 -0,072 0 -0,017 -2,405 -0,047 -0,009 -0,072 -0,047 0,930	0,016
9	i = 2; j = 4 d = 2,725 c = 1,000 s = 0,027	-6,165 -0,002 0 -0,009 -0,002 3,653 -0,016 0 0 -0,016 -2,405 -0,048 -0,009 0 -0,048 0,930	0,005

Поскольку < 0,01, расчеты прекращаем.

Ответ: ₁ = -6,17 ; ₂ = 3,65 ; ₃ = -2,41 ; ₄ = 0,93.

8.3 QR-алгоритм

Этот метод определения собственных значений матрицы А использует тот факт, что всякую неособенную матрицу можно представить в виде A = QR,, где Q - ортогональная матрица, а R - левая треугольная. Представление А в данном виде (QR-разложение матрицы) осуществляется при помощи итерационного процесса: строится последовательность матриц А₁, А₂, … , таким образом, чтобы , где А^* - левая треугольная (в случае различных вещественных собственных значений), либо левая блочно-треугольная матрица, если среди собственных значений есть кратные или комплексные (см. п. 8.1). Процесс продолжают, пока не будет выполнено условие . В результате на главной диагонали матрицы A_k окажутся квадратные блоки 1 – го и (или) 2 – го порядков:

Б локи 1–го порядка – это собственные значения матрицы А. Чтобы найти парные собственные значения блоков 2–го порядка , нужно решить квадратные уравнения = 0.

Описание QR – алгоритма.

k = 1. Будем считать . Умножим на ортогональную матрицу Q₁ справа, получим . Находим .

k = 2. Умножаем на Q₂ справа: , находим и т.д.

Таким образом, , k = 1, 2, …,

где – произведение матриц вращения:

.

Матрицы вращения имеют структуру, описанную в п. 4.5.1, а величины и находят по формулам:

; с использованием элементов матрицы _.

В результате подобного преобразования матрица A_k остается симметричной, если A_k-1 симметричная, или левой почти треугольной, если A_k-1 – левая почти треугольная, сохраняя свои собственные значения.

Если матрица А предварительно была приведена к трехдиагональному либо левому почти треугольному виду (например, при помощи метода Гивенса), то это уменьшает количество вычислений: .

Задача

Найти собственные значения матрицы А из условия задачи 2 п. 8.1. Точность 0,01.

Решение. Воспользуемся левой почти треугольной матрицей, к которой была приведена А при помощи метода Гивенса. Пусть

Здесь 5,757.

k = 1 ; A₁ = Q^T₁  A₀  Q₁ , где .

Матрица : i = 1; j = 2; c = 0,516; s = -0,856 .

Матрица : i = 2; j = 3; c = 0,938; s = -0,348.

Матрица : i = 3; j = 4; c = 0,515; s = 0,857.

; 1,340.

k = 2 . A₂ = Q^T₂  A₁  Q₂, где .

Матрица : i = 1; j = 2; c = 0,743; s = -0,670.

Матрица : i = 2; j = 3; c = 0,982; s = -0,186.

Матрица : i = 3; j = 4; c = 0,994; s = 0,109.

; 0,736.

Процесс продолжаем, пока не будет выполнено условие 0,01. На 58-м шагу получаем матрицу:

Здесь ₁ = 3,26; ₂ = 0,21. Чтобы найти комплексные собственные значения _3,4 , решаем уравнение

. Получим _3,4 = 2,26  1,86i

Ответ: ₁  3,26; ₂  0,21; _3,4  2,26  1,86i

Литература

[7], гл. VI, § 1,2,3

[8], гл. VIII , § 8.4

[9], гл. VI, § 14,15

Конспект лекций.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Воробьева Г. Н., Данилова А. Н. Практикум по численным методам - М.: Высшая школа,1979.

2. Данко П.Е. Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. - М.: Высшая школа, 1980, ч.1,2 .

3. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов./Под ред. Б.П.Демидовича/ - М., Наука,1970 (и послед.издания).

4. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений - Физмагиз,1962, т.1,2.

5. Данилина Н. И., Дубровская Н.С. и др. Численные методы - М.: Высшая школа,1976.