Литература

Конспект лекций.

§ 8 Решение проблемы собственных значений

Напомним некоторые сведения. Если А - квадратная матрица размерности n и матричное равенство

выполнено при некотором , тогда _i называют собственным значением (собственным числом) матрицы А, а ненулевой вектор X_i , соответствующий _i , называют собственным вектором матрицы А:

.

Задачу получения всех собственных значений матрицы А называют полной проблемой собственных значений, в отличие от частичных проблем: определения максимального или минимального по модулю собственного значения, нахождения собственного значения, ближайшего к данному числу а и др.

Как известно, легко находятся собственные значения для треугольной и диагональной матрицы: они равны диагональным элементам данных матриц. Поэтому некоторые методы решения полной проблемы собственных значений основаны на приведении матрицы А к одному из этих видов при помощи подобных преобразований . (Подобными преобразованиями матрицы А называют такие преобразования вида , где S - невырожденная матрица, что собственные значения матриц А и В одинаковые, то есть подобные преобразования не изменяют собственных значений матрицы). В случае, когда U - ортогональная матрица, выполнено и преобразование подобия можно записать так: .

После определения собственных значений матрицы А собственные векторы легко найти, решая систему однородных уравнений AX_i = _iX_i для каждого _i (i =1, 2, . . . , n).

8.1 Приведение матрицы к трехдиагональному или почти треугольному виду при помощи метода Гивенса

1) Если А - вещественная матрица, имеющая различные вещественные собственные значения ₁, ₂, . . . ,_n , то ее при помощи последовательности подобных преобразований можно привести (с определенной точностью) к диагональному виду

, где , (i =1, 2, . . . , n).

(Столбцы результирующей матрицы U, использованной при этом, есть собственные векторы матрицы А).

2) Если среди собственных значений матрицы А есть кратные либо комплексные, то ее удается привести лишь к блочно - треугольному виду:

,

где - квадратные блоки 1-го и 2-го порядков, причем блоки 1-го порядка - это собственные значения матрицы А, а собственные значения блоков 2-го порядка - это пары комплексных либо кратных собственных значений матрицы А.

Процесс построения матрицы - итерационный, поэтому для уменьшения числа шагов предварительно приводят А либо к трехдиагональному виду (в первом случае), либо к почти треугольному (во втором), а затем добиваются близости недиагональных элементов матрицы к нулю, насколько это возможно.

Метод Гивенса позволяет за N шагов привести матрицу А к трехдиагональному виду, если А - симметричная, либо к левому почти треугольному виду, если А - произвольная квадратная матрица. Этот процесс осуществляется посредством подобных преобразований вида:

,

где i = 2, 3, ... n - 1; j = i+1, i+2, . . . n; к = 1, 2, . . . ,N,

; - матрица вращения.

В итоге получаем:

,

если А была симметричной, либо

,

если А - была произвольной матрицей.

Матрица вращения имеет структуру, описанную в п.4.5.1, т.е элементы ; ; , но величины и вычисляют по другим формулам:

; .

В результате преобразования вида обнуляется элемент матрицы , т.е. = 0. Для получения матрицы потребуется таких преобразований.

Пусть T = T₂₃  T₂₄  . . .  T_2n  . . .  T_n-1,n, тогда

T^Т = T^T_n-1,n  . . .  T^T_2n  . . .  T^T₂₄  T^T₂₃ и можно записать: A_N = T^T  A  T ,

где T - ортогональная матрица. Это означает, что матрица A_N подобна A и имеет те же собственные значения.

Если вместо матриц вращения использовать матрицы отражения, то аналогичный метод носит имя Хаусхолдера.