Введение

Курс вычислительной математики входит в цикл дисциплин, обеспечивающих профессиональную подготовку студентов технических вузов и имеет большое значение для успешного изучения специальных дисциплин и будущей творческой работы по специальности.

Настоящий практикум не имеет целью дать исчерпывающее изложение учебного материала и представляет собой лишь краткое практическое руководство, содержащее минимально необходимую информацию, достаточную для выполнения лабораторных работ и подготовки к практическим занятиям по курсу “ Вычислительная математика ”. Практикум разбит на две части, каждая из которых соответствует содержанию учебных занятий одного семестра. Предлагаемая первая часть соответствует плану практических и лабораторных занятий по курсу «Вычислительная математика» для студентов специальности 220400 “Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем” в 1-м семестре обучения. В ней рассмотрены следующие темы:

- действия с приближенными величинами и элементы теории погрешностей;

- методы решения нелинейных уравнений;

• прямые и итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей;

• некоторые методы обращения матриц;

• методы решения систем линейных алгебраических уравнений с прямоугольной матрицей;

• некоторые методы вычисления собственных значений матриц.

Практикум разбит на параграфы, в каждом из которых имеется справочный материал либо краткие теоретические сведения, подробно решенные типовые задачи и приведен список рекомендуемой литературы. По некоторым темам кроме решенных задач приведены задачи для самостоятельного решения с ответами.

Большая часть рассматриваемых в практикуме вычислительных методов предполагает их реализацию на ЭВМ в процессе выполнения лабораторных работ. Тем не менее, в данной работе изложение материала ограничивается лишь кратким описанием содержания методов и их общей характеристикой и не включает в себя собственно вычислительных алгоритмов. Построение таких алгоритмов, выбор наиболее эффективных вычислительных схем их реализации является одной из важных составных частей самостоятельной работы студентов при выполнении ими практических и лабораторных занятий в курсе «Вычислительная математика».

Практикум составлен в соответствии с рабочими программами курса «Вычислительная математика» для специальностей 220400 “Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем” и 210200 “Автоматизация технологических процессов и производств”, но может быть использован и для обучения студентов других специальностей, имеющих в учебном плане дисциплину “Вычислительная математика”, либо “Методы вычислений”.

§1. Действия с приближенными величинами

1.1 Основные понятия

Пусть – точное значение некоторой величины, а число - приближенное значение этой величины (для простоты будем называть приближенным числом). Величину называют абсолютной погрешностью числа . Предельной абсолютной погрешностью числа называют наименьшую из верхних границ величин , т.е.

= Это означает, что если - предельная абсолютная погрешность числа , то , т.е. Обычно записывают так: , например, = 8,341 0,005.

В дальнейшем будем называть предельную абсолютную погрешность просто абсолютной погрешностью.

Предельной относительной погрешностью числа называют величину или 100%. В случае, когда неизвестно, полагают, что или 100%.

В дальнейшем будем называть предельную относительную погрешность числа просто относительной погрешностью.

Пусть ,

где ₁ , ₂ , ..., _i ...- целые числа, принимающие значения от 0 до 9.

Значащими цифрами числа называют все его цифры, начиная с первой слева ненулевой цифры.

Обычно при записи значений погрешностей в соответствующих числах оставляют одну-две значащих цифры, например: = 0,03, = 5%.

Количество верных знаков числа отсчитывают от его первой значащей цифры до цифры , для которой еще выполнено одно из неравенств:

, если - верная в широком смысле;

, если - верная в узком смысле цифра.

Оставшиеся цифры числа называют сомнительными.

По умолчанию будем считать, что все значащие цифры числа верны в узком смысле, т.е. его абсолютная погрешность не превосходит половины единицы последнего сохраненного разряда, например, запись = 0,513 означает, что .

Результаты вычислений обычно округляют до верных знаков или оставляют одну сомнительную цифру. При округлении до верных знаков суммарная ошибка будет равна . Округляя числа, используют правило дополнения: если первая отбрасываемая цифра больше или равна 5, то последняя сохраненная цифра увеличивается на единицу.

Задачи

1. Определить число значащих цифр в числах (устно):

4,15; 0,025; 0,005030; 238,06. Ответы: 3; 2; 4; 5.

2. Округлить до 3-х значащих цифр числа (устно):

0,08001; 1,0709; 0,6666; 123510; 3248,00.

Ответы: 0,0800; 1,07; 0,667; 124 ; 325 .

3. Определить число верных значащих цифр в числах (устно):

= 20,346 0,093; = 0,61 0,05; = 315 60.

Решения:

, следовательно, последняя верная цифра – 0;

, значит, цифра 1 – сомнительная;

, значит, цифра 3 – сомнительная, в числе нет верных цифр. Ответы: 2; 1; 0.

4. Округлить приближенные числа до верных знаков:

1) 93; ; 2) .

Решение. 1) = 0,93 > 0,5; верная цифра может быть только одна. При округлении до одной значащей цифры суммарная ошибка будет = 0,93 + 3 = 3,93 < 5.

2) = 0,03 < 0,05. Суммарная ошибка при округлении до 2-х значащих цифр = 0,03+0,05 = 0,08 > 0,05. При округлении до одной значащей цифры = 0,03 + 0,35 = 0,38 < 0,5. Ответы: = 90; = 2.