6.3 Построение обратной матрицы методом пополнения

Требуется найти обратную матрицу для данной невырожденной квадратной матрицы . За основу построения в методе пополнения берут матрицу той же размерности, что и , но с известной обратной матрицей. Примером такой матрицы может служить единичная матрица . На каждом шаге 1, 2, …, заменяется одна из строк рабочей матрицы строкой матрицы (пополнение) и строится . На –ом шаге получаем . Для пополнения матрицы используются: вспомогательная строка

(1)

и столбец единичной матрицы = (0; 0; ...1; 0; ..0)^Т. Тогда справедливо: , (2)

и , (3)

где:

– число, определяемое по формуле:

, (4)

- –й столбец матрицы .

Описание одного шага метода пополнения.

1. Пополняем матрицу –й строкой матрицы

(формула (2)), в результате получаем .

1. Находим – формула (4).

2. Строим матрицу по формуле (3) или по столбцам:

, (j = 1, 2, …, ), (5)

где – –й столбец матрицы (верхний индекс – номер шага).

Метод пополнения удобно использовать в случае, когда известна матрица , а требуется найти для матрицы , отличающейся от несколькими строками.

Задача

Найти матрицу, обратную к матрице из задачи к п.6.2:

. Точность = 0,01.

Решение. Пусть , .

. , где

= (2;-4;5;0), = (1;0;0;0)^T; =3; 0,333;

;

Выделим 2-й столбец матрицы : (1,332; 1; 0; 0)^T.

. = , где

Вычислим

; -2,976, тогда

;

Здесь (–10,901; –6,934; 1; 0)^T.

. , где

Вычисляем ; 1,034;

;

(–7,172; –4,108; 1,022; 1)^T.

. , где

; ;

.

Проверив условия , , убеждаемся в правильности решения.

Ответ: .

Литература

[1], гл. II, работа №2; гл. III, работа №3.

[5], гл. II, §2.6, 2.12.

[8], гл. VIII, п.8.2.2.

Конспект лекций.

§7 Решение систем линейных уравнений с прямоугольными матрицами

7.1 Классификация систем

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений

(1)

где – матрица размерности ;

– вектор размерности ;

– вектор размерности .

Система (1) совместна, если ранги матрицы и расширенной матрицы = ( ), полученной из присоединением столбца , совпадают: = . Если система (1) несовместна, то ставится задача нахождения обобщенного решения , которое дает минимум функции невязок

, (2)

где .

(Здесь и далее рассматривается евклидова норма вектора).

Возможны 4 случая при решении системы (1).

1. . Совместная система с невырожденной квадратной матрицей , она имеет единственное решение , которое можно найти, используя прямые или итерационные методы.

2. . Переопределенная система (число уравнений больше числа неизвестных). Если система несовместная, ставится задача отыскания обобщенного решения , минимизирующего функцию (2). В случае совместности системы это решение оказывается обычным решением.

3. . Неопределенная система, имеет бесконечно много решений . Ставится задача отыскания нормального решения , имеющего наименьшую норму

. (3)

4. . Вполне неопределенная система. Если она совместна, то имеет бесконечно много решений, а если несовместна, то может иметь бесконечно много обобщенных решений . Ставится задача отыскания обобщенного нормального решения, имеющего наименьшую евклидову норму среди всех решений, доставляющих минимум функции (2), те

. (4)