4.5.1 Использование матриц вращения для решения систем
Матрицей
вращения называется ортогональная
матрица
размерности
,
полученная из единичной матрицы
этой же размерности заменой 4–х
элементов:
;
; 
; где
Матрица
имеет вид:
Пусть требуется решить систему линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей:
.
(1) Если величины
и
вычислить по формулам
; 
, (2)
то,
умножив матрицу А
на
слева, получим
,
где
отличается от
только двумя строками (
–ой
и
–ой),
причем
=
0. Например, левостороннее умножение
системы (1) на матрицу
,
приводит к эквивалентной системе
,
(*)
при
этом изменяются 1–я и 2–я строки матрицы
системы и 1–ый и 2–ой элементы столбца
правых членов системы, а элемент новой
матрицы, находящийся на пересечении
второй строки и первого столбца,
становится равным нулю. Далее умножаем
систему (*) слева на
и
т.д.
Для приведения исходной системы линейных уравнений к эквивалентной ей системе с верхней треугольной матрицей необходимо последовательно умножить (1) слева на цепочку ортогональных матриц
.
Таким
образом, всего потребуется
левосторонних умножений на матрицу
вращения. Поскольку при каждом из таких
умножений изменяются только 2 строки
матрицы предыдущей системы и 2 элемента
столбца
,
то умножения
,
(4)
можно осуществлять по следующим формулам.
Для
k = 0 
;
.
Далее для k = 1,2....; j = 1, 2, ...n -1; i = j +1, j+2, ...,n.
;
,
если
,
;
;
(5)
; 
;
где
,
–
–я
и
–я
строки матрицы
;
и
вычислены по формулам (2) с использованием
элементов матрицы
.
Для удобства вычислений используют
расширенную матрицу вида (Ab),
где (n+1)-ый
столбец матрицы – это столбец свободных
членов
(см. п. 4.1.1).
Задача
Решить систему с использованием матриц вращения:
. Точность
=
0,01.
Решение. Прямой ход.
k = 0. Построим расширенную матрицу
.
k
= 1. Для обнуления элемента
строим матрицу
:
; 
.
Находим строки
матрицы
.
=
(4;
–1; 2; 5) –
(3;
2; –1; -4) = (0; –2,2; 2; 6,2);
=
(4;
–1; 2; 5) +
(3;
2; –1; -4) = (5; 0,4; 1; 1,6).
Результат:
.
k
= 2. Для обнуления элемента
строим
:
;
.
=
(12;
1; 1; 1) –
(5;
0,4; 1; 1,6)
(0; 0,015; –0,538; -1,092);
=
(12;
1; 1; 1) +
(5;
0,4; 1; 1,6)
(13; 1,077; 1,308; 1,538).
Результат 2-го шага:
.
k
= 3. Для обнуления элемента
строим
:
. 
;
-
(0; 0,015; –0,538; -1,092) – 0,007(0; –2,2; 2; 6,2)
(0; 0; 0,524;1,049);
0,007(0;
0,015; –0,538;-1,092) – (0; –2,2; 2; 6,2)
(0; 2,2; –2,004; -6,208).
Результат 3-го шага:
.
Обратный ход:
; 
;
.
Ответ: 
;
;
.
4.5.2 Использование матриц отражения для решения систем
Матрицей
отражения
называется ортогональная матрица
размерности
,
полученная из единичной матрицы
этой же размерности следующим образом:
где
– единичный вектор (
),
– матрица
.
Если вектор получен с использованием элементов –го столбца матрицы А по формулам
; где
(0;
0; ..0; 1; 0; ...; 0)T,
(единица на
-м
месте);
(0;
0; ...0;
;
.....
)T; 
,
то,
умножив матрицу А
на
слева, получим матрицу
,
в которой все поддиагональные элементы
j-го
столбца
,
...,
равны нулю.