4.4 Прямые методы решения системы линейных уравнений в случае квадратной матрицы специального вида

Использование специфических особенностей структуры матрицы системы линейных уравнений часто позволяет построить методы решения, которые оказываются для таких систем более эффективными, чем общие методы, не ориентированные на особенности данной системы.

4.4.1 Метод квадратных корней

Этот метод используется для решения системы

(1)

в случае симметричной невырожденной матрицы ( ). Идея метода - представить матрицу в виде произведения , где - нижняя треугольная матрица:

.

По сути, метод квадратных корней является частным случаем метода Холецкого ( ) и поэтому схема решения та же: из (1) получаем LL^TX = b, обозначаем L^TX = Y и решаем сначала LY = b, затем L^TX = Y. За счет симметрии матрицы формулы упрощаются, и в итоге число арифметических операций получается примерно вдвое меньше, чем в схемах исключения (порядка ). Поскольку можно хранить лишь элементов матрицы , получаем значительную экономию памяти ЭВМ.

Описание алгоритма и расчетные формулы. Прямой ход

1) Находим 1-ый столбец матрицы L:

i = 2, 3,...n. (2)

2) Находим элементы k-го столбца матрицы L для k = 2, 3,...,n.

i = k+1, k+2,...n. (3)

3) Вычисляем элементы столбца Y:

i = 2, 3,...n. (4)

4) Находим решение системы (1):

i = n-1, n-2,...2, 1. (5)

Задача

Решить систему уравнений, используя метод квадратных корней.

.

Решение. Прямой ход.

i	L\A
1	1,766	3,12	1,44	0,72	-0,34	3,05	1,727	0,651
2	0,815	1,416	2,67	0,35	-0,78	2,75	0,948	0,843
3	0,408	0,012	2,643	7,15	0,25	0,86	0,055	-0,006
4	-0,192	-0,440	0,126	2,415	6,08	2,53	1,355	0,561

Подробные формулы.

1. 

2. 

.

3. .

4. .

5. 

Обратный ход.

Вектор невязок: . Норма вектора невязок: . Ответ: x₁ = 0,65; x₂ = 0,84; x₃ = -0,01; x₄ = 0,56.

4.4.2 Метод прогонки

Пусть дана система линейных уравнений с невырожденной трехдиагональной матрицей:

.

Такую систему можно записать в виде:

Для ее решения может быть использован метод прогонки, относящийся к методам исключения, но использующий особенности трехдиагональной матрицы.

Метод прогонки состоит из прямого и обратного хода.

Прямой ход заключается в определении коэффициентов, связывающих и :

, k = 1,2,...n-1.

В результате прямого хода находят коэффициенты прогонки и через коэффициенты и . Обратный ход - вычисление , начиная с последнего.

Описание алгоритма и расчётные формулы.

Прямой ход метода прогонки.

Находим и : . Вычисляем для k = 2, 3, ...n-1.:

Обратный ход метода прогонки.

Находим .

Вычисляем по формулам:

k = n-1, n-2, ..1.

Поскольку при решении задачи на ЭВМ нужно хранить в памяти только ненулевые элементы , , то такая структура матрицы позволяет экономить память. Сокращается также время расчётов, т.к. операции с нулевыми элементами не производятся: вычисления методом прогонки осуществляются примерно в 9n арифметических операций. Таким образом, этот метод намного экономнее других методов исключения.

Если в матрице А выполнено условие преобладания главной диагонали а также некоторые дополнительные условия, то метод прогонки устойчив к ошибкам округления..

Задача

Решить методом прогонки следующую систему уравнений:

.

Решение.

Коэффициенты при неизвестных						Прогонка
						k
3,15	2,12				2,31	1	-0,673	0,733	0,238
0,23	4,72	1,62			3,88	2	-0,355	0,813	0,737
	1,91	8,31	2,19		5,06	3	-0,287	0,460	0,215
		0,79	3,21	1,94	4,19	4	-0,650	1,283	0,851
			0,29	5,16	3,67	5			0,663

Подробные вычисления.

Прямой ход метода прогонки.

;

;

;

.

Обратный ход метода прогонки.

Вектор невязок: .

Норма вектора невязок: .

Ответ: x₁ = 0,66; x₂ = 0,85; x₃ = 0,22; x₄ = 0,74; x₅ = 0,24.

4.5 Прямые методы решения систем уравнений, основанные на ортогональных преобразованиях

Дана система линейных уравнений:

. (1)

Ортогональные преобразования системы (1) осуществляются, в частности, посредством левостороннего умножения матрицы системы А и вектора правых частей b матричного уравнения (1) на ортогональную матрицу : ; . В результате такого умножения система (1) может быть заменена на эквивалентную ей систему: . С помощью определенным образом организованной последовательности таких умножений можно преобразовать исходную систему линейных уравнений к эквивалентной ей системе с верхней треугольной матрицей (прямой ход). Обратный ход осуществляется в этом случае так же, как в схемах Гаусса (см. п.4.1).