4.2 Метод Жордана

Этот метод, как и метод Гаусса, является методом исключения, предназначенным для системы линейных уравнений ( матрица А – невырожденная). Отличие от схем метода Гаусса в том, что путем преобразований матрица А приводится не к треугольному, а к диагональному виду. В результате исходная система линейных уравнений приобретает вид:

Обратный ход в схемах Жордана становится формальностью.

4.2.1 Классическая схема Жордана

Как и в схемах Гаусса, здесь удобно использовать расширенную матрицу системы (см. п. 4.1.1). Классическая схема Жордана реализуется за n шагов. Описание k-го шага (k =1,2...n).

1). Делим k- ю строку расширенной матрицы на элемент :

j = 1, 2, ...,n + 1.

2). Из строк с номерами вычитаем k-ю строку, умноженную на числовой коэффициент так, чтобы в k-ом столбце расширенной матрицы получить нули над и под элементом :

j = 1, 2, ...,n + 1.

Эта схема наиболее простая из всех схем исключения.

4.2.2 Схема оптимального исключения

Данная схема отличается от классической тем, что на k-ом шаге получают нули не во всем столбце расширенной матрицы, а только над диагональным элементом , а перед этим обнуляют элементы k-ой строки левее .

Описание алгоритма.

1). Номер ведущей строки k = 1. Делим 1-ю строку на :

j = 1, 2, ...,n + 1. и переходим к 5 пункту

2). Из k-ой строки вычитаем строки с номерами i = 1, 2, ... , k-1, умноженные на с тем, чтобы получить нули левее :

j = 1, 2, ...,n + 1; i < k.

3). Делим k-ю строку на , получая единицу на главной диагонали:

j = k, k+1, ...,n + 1.

4). Из строк с номерами i =1, 2, ... , k-1 вычитаем k-ю строку, умноженную на с тем, чтобы получить нули над :

j = k, k+1, ...,n + 1; i < k.

В результате выполнения k-го шага расширенная матрица примет вид:

5). Увеличиваем номер шага k = k+1 и, если k n, переходим ко второму пункту.

Реализация схем Жордана требует примерно такого же количества арифметических операций, как и схемы Гаусса. Схема оптимального исключения позволяет экономить память ЭВМ за счет того, что рабочая часть расширенной матрицы на k-м шаге содержит только k строк, нет необходимости хранить всю матрицу, равно как и нулевые элементы в уже обработанной части матрицы. Необходимое для использования схем Жордана условие: . Если элементы главной диагонали матрицы в процессе работы метода оказываются равными или близкими к нулю, то можно использовать модификации метода с перестановкой строк или столбцов, аналогичные соответствующим модифиациям метода Гаусса.

Задача

Решить систему уравнений из п. 4.1.2:

с использованием схем Жордана.

Решение. 1). Классическая схема Жордана.

№ шага
k=0	2,34	-1,84	-0,32	0,11	2,22
	-1,19	0,43	-0,52	3,37	-5,26
	0,33	0,61	7,75	-2,18	0,15
	-1,53	0,81	0,94	-4,82	-3,74
k=1	1	-0,786	-0,137	0,047	0,949
	0	-0,506	-0,683	3,426	-4,131
	0	0,869	7,795	-2,196	-0,163
	0	-0,393	0,731	-4,748	-2,288
k=2	1	0	0,925	-5,280	7,372
	0	1	1,350	-6,774	8,169
	0	0	6,621	3,695	-7,265
	0	0	1,261	-7,411	0,922
k=3	1	0	0	-5,796	8,387
	0	1	0	-7,528	9,650
	0	0	1	0,558	-1,097
	0	0	0	-8,115	2,307
k=4	1	0	0	0	6,739
	0	1	0	0	7,510
	0	0	1	0	-0,939
	0	0	0	1	-0,284

Ответ округляем с точностью до 0,01: x₁ = 6,74; x₂ = 7,51; x₃ = -0,94; x₄ = -0,28. Получили тот же результат, что и при помощи схемы Гаусса.