- •«Вычислительная математика»
- •Часть 1.
- •§ 1. Действия с приближенными величинами
- •§ 2. Методы решения нелинейных уравнений
- •§ 3. Нормы вектора и матрицы
- •§ 4. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей
- •Введение
- •§1. Действия с приближенными величинами
- •1.1 Основные понятия
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.2 Погрешности арифметических операций
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.3 Погрешности вычисления значения функции
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Литература:
- •§2 Методы решения нелинейных уравнений
- •2.1 Изоляция корней
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.2 Уточнение корней при помощи методов, не требующих вычисления производных
- •2.2.1 Метод деления отрезка пополам (метод бисекции)
- •2.2.2 Метод простой итерации
- •2.2.3 Метод хорд
- •2.3 Уточнение корней при помощи методов, использующих производные
- •2.3.1 Метод Ньютона – Рафсона (метод касательных)
- •2.3.2 Модификации метода Ньютона
- •2.3.3 Метод хорд и касательных
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Литература:
- •§3 Нормы вектора и матрицы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Литература:
- •§4 Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей
- •4.1 Метод Гаусса
- •4.1.1 Схема единственного деления
- •4.1.2 Схемы с выбором главного элемента
- •4.2 Метод Жордана
- •4.2.1 Классическая схема Жордана
- •4.2.2 Схема оптимального исключения
- •2). Схема оптимального исключения. Записываем в таблицу только рабочую часть расширенной матрицы, т.К. Остальные строки не преобразовываются.
- •4.3 Метод Холецкого.
- •4.4 Прямые методы решения системы линейных уравнений в случае квадратной матрицы специального вида
- •4.4.1 Метод квадратных корней
- •4) Находим решение системы (1):
- •4.4.2 Метод прогонки
- •4.5.1 Использование матриц вращения для решения систем
- •Для решения системы линейных уравнений
- •Литература
- •§5 Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •5.1 Метод Якоби
- •5.2 Метод Зейделя
- •5.3 Метод наискорейшего спуска
- •5.4 Метод сопряженных градиентов
- •Литература
- •§6 Вычисление определителя матрицы и построение обратной матрицы
- •6.1 Вычисление определителя
- •6.2 Построение обратной матрицы методом окаймления
- •6.3 Построение обратной матрицы методом пополнения
- •Литература
- •§7 Решение систем линейных уравнений с прямоугольными матрицами
- •7.1 Классификация систем
- •7.2 Нахождение обобщенного решения переопределенной системы с помощью первой трансформации Гаусса
- •Задача 1
- •Задача 2
- •Литература
- •§ 8 Решение проблемы собственных значений
- •8.1 Приведение матрицы к трехдиагональному или почти треугольному виду при помощи метода Гивенса
- •Задача 1
- •8.2 Метод Якоби и схема его реализации для получения собственных значений матрицы
- •1. Классическая схема Якоби. На каждом шаге выбирают максимальный по модулю недиагональный элемент матрицы : и строят матрицу для обнуления этого элемента.
- •6. Копченова н. В., Марон и. А. Вычислительная математика в примерах и задачах - м.: Наука, 1972.
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РФ ПО РЫБОЛОВСТВУ.
Мурманский государственный технический университет
Кафедра высшей математики
и программного обеспечения ЭВМ
Практикум по курсу
«Вычислительная математика»
Часть 1.
Утверждено Ученым советом МГТУ в качестве учебного пособия для студентов специальностей 220400 “Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем” и 210200 “Автоматизация технологических процессов и производств”
(полный курс обучения)
Мурманск
2000 г.
Авторы - Середа Альгирдас-Владимир Игнатьевич
- Мостовская Любовь Григорьевна
Пособие рассмотрено и одобрено кафедрой ВМ и ПО ЭВМ
_16 февраля _ 2000 г., протокол № 4.
Рецензенты -– Бобков Леонид Юрьевич, кандидат физ.-мат. наук,
доцент, зав. кафедрой ТНО Мурманского государственного педагогического института
кафедра информатики и общетехнических дисциплин Мурманского государственного педагогического института
Редактор
Корректор
Мурманский государственный технический университет, 2000г.
СОДЕРЖАНИЕ
§ 1. Действия с приближенными величинами
1.1 Основные понятия
1.2 Погрешности арифметических операций
1.3 Погрешности вычисления значения функции
§ 2. Методы решения нелинейных уравнений
2.1 Изоляция корней
2.2 Уточнение корней при помощи методов, не требующих
вычисления производных
Метод деления отрезка пополам (метод бисекции)
Метод простой итерации
2.2.3 Метод хорд
2.3 Уточнение корней при помощи методов, использующихпроизводные
2.3.1 Метод Ньютона – Рафсона (метод касательных)
2.3.2 Модификации метода Ньютона
2.3.3 Метод хорд и касательных
§ 3. Нормы вектора и матрицы
§ 4. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей
4.1 Метод Гаусса
4.1.1 Схема единственного деления
Схемы с выбором главного элемента
4.2 Метод Жордана
4.2.1 Классическая схема Жордана
4.2.2 Схема оптимального исключения
4.3 Метод Холецкого
4.4 Прямые методы решения системы линейных уравнений в случае квадратной матрицы специального вида
4.4.1 Метод квадратных корней
4.4.2 Метод прогонки
4.5 Прямые методы решения систем уравнений, основанные на элементарных ортогональных преобразованиях
4.5.1 Использование матриц вращения для решения систем
4.5.2 Использование матриц отражения для решения сис тем
§ 5. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
Метод Якоби
Метод Зейделя
Метод наискорейшего спуска
Метод сопряженных градиентов
§ 6. Вычисление определителя матрицы и построение обратной матрицы
Вычисление определителя
Построение обратной матрицы методом окаймления
Построение обратной матрицы методом пополнения
§ 7. Решение систем линейных уравнений с прямоугольными матрицами
7.1 Классификация систем
Нахождение обобщенного решения переопределенной системы с помощью первой трансформации Гаусса
Нахождение нормального решения неопределенной системы с помощью второй трансформации Гаусса
§ 8. Решение проблемы собственных значений
Приведение матрицы к трехдиагональному или почти треугольному виду при помощи метода Гивенса
Метод Якоби и схема его реализации для получения собственных значений матрицы
QR - алгоритм