2. Теоретичні відомості

2.1 Метод fdtd

Метод кінцевих різниць у часовій області (англ. Finite Difference Time Domain, FDTD) - один з найбільш популярних методів чисельної електродинаміки, заснований на дискретизації рівнянь Максвелла, записаних в диференціальній формі.

У 1966 р. Йі (Yee) розробив техніку, що реалізує явну звичайно - різницеву схему другого порядку для вирішення вихрових рівнянь Максвелла у просторі та часі.

Вихідними є рівняння Максвелла в диференціальній формі:

rot(H) = ∂D/∂t + J

rot(E) = - ∂B/∂t (2.1)

а також:

D = ε ε0 E

J = σ E (2.2)

B = μ μo H

Тут E - вектор напруженості електричного поля (В / м), Н - вектор напруженості магнітного поля, (А/м), ε, μ - відносні діелектрична і магнітна проникності (без розмірності), ε₀ - діелектрична постійна (Ф / м), μ₀ - магнітна постійна (Гн / м), B - вектор магнітної індукції (Тл), D - вектор електричного зміщення(Кл/м²), J - вектор густини струму(А/м²), σ - електрична провідність (См / м), і t - час у секундах.

ε₀ = 10⁷/(4πc²), де с – швидкість світла в вакумі (2,997925010∙10⁸ м/с).

μ₀ = 4π/10⁷.

У рівняннях Максвелла зміна електричного поля E (приватна похідна) залежить від розподілу в просторі магнітного поля H (ротор). Аналогічно, зміна поля H залежить від розподілу в просторі поля Е.

Е = Ex(t,x,y,z)X+ Ey(t,x,y,z)Y+ Ez(t,x,y,z)Z

H = Hx(t,x,y,z)X+ Hy(t,x,y,z)Y+ Hz(t,x,y,z)Z (2.3)

На цьому спостереженні заснований алгоритм Йі. Сітки для полів E і H зміщені по відношенню один до одного на половину кроку дискретизації часу і по кожній із просторових змінних. Кінцево-різницеві рівняння дозволяють визначити поля E і H на даному часовому кроці на підставі відомих значень полів на попередньому.

Всі компоненти (Ex, Ey, Ez, Hx, Hy, Hz) знаходяться в різних місцях, тобто рознесені в просторі. Е - компоненти знаходяться посередині ребер, Н - компоненти - по центру граней. Всі компоненти незалежні один від одного, тобто кожній з них можна присвоїти свої унікальні електричні (для Е) і магнітні (для Н) параметри.

Просторові координати кожного вектора x, y і z виражаються в номерах осередків i, j і k відповідно, час t виражається в кроках n за часом:

x = i∆x

y = j∆y

z= k∆z (2.4)

t= n∆t

Поля E і H обчислюються із зрушенням на півкроку за часом. Позначення, введені Yee, наступні: En - значення поля E на тільки що обчислення кроці; Eⁿ⁺¹ - значення поля E на обчислюваному зараз кроці за часом. H^n-1/2 - значення поля H на тільки що обчислення кроці; H^n+1/2 - значення поля на обчислюваному зараз півкроку за часом. З цих позначень випливає, що процедура обчислень починається з поля H^n+1/2, тому що в момент t = 0 (n = 0) встановлені початкові умови по всьому счетному обсягом: всі значення полів E і H дорівнюють нулю. Хоча в принципі це лише найбільш поширена умовність. Можна вважати, що просторова сітка проходить через вектор H, що процедура рахунку починається з поля E.

Тепер, коли введені основні позначення, покажемо висновок виразів, придатних для розрахунків за допомогою комп'ютера.

Поставимо (2.3) і (2.2) в (2.1). отримаємо:

rot(H) X = εε₀∂Ex /∂t + σEx; rot(E) Y = - μμ₀∂Hy /∂t (2.5)

Застосовуючи кінцево-різницеву апроксимацію, перетворимо (5) у вирази для кроків n і n +1, враховуючи (4). отримаємо:

σEx^n+1/2 ≈ σ_(i+1/2,j,k)(Exⁿ_(i+1/2,j,k)+ Exⁿ⁺¹_(i+1/2,j,k))/2,

εεo∂Ex^n+1/2 /∂t ≈ ε_(i+1/2,j,k)ε_o(Exⁿ⁺¹_(i+1/2,j,k) - Exⁿ_(i+1/2,j,k))/∆t,

μμo∂Hyⁿ /∂t ≈ μ_{(i+1/2,j,k+1/2)}μo(Hy^n+1/2_{(i+1/2,j,k+1/2)} - Hy ^n-1/2_{(i+1/2,j,k+1/2)})/∆t, (2.6)

rot(H^n+1/2) X ≈ (Hz^n+1/2_{(i+1/2,j+1/2,k)} - Hz^n+1/2_{(i+1/2,j-1/2,k)})/ ∆y –

(Hy^n+1/2_{(i+1/2,j,k+1/2)} - Hy^n+1/2_{(i+1/2,j,k-1/2)})/∆z,

rot(En) Y ≈ (Exⁿ_{(i+1/2,j,k+1)} - Exⁿ_(i+1/2,j,k))/ ∆z - (Ezⁿ _{(i+1,j,k+1/2)} - Ezⁿ _(i,j,k+1/2))/∆x

Підставляючи (6) в (5) і вирішуючи отримані вирази щодо Hy^n+1/2_{(i+1/2,j,k+1/2)} і Exⁿ⁺¹_(i+1/2,j,k) отримаємо:

Hy^n+1/2_{(i+1/2,j,k+1/2)} = Hy^n-1/2_{(i+1/2,j,k+1/2)} + C_{Hy(i+1/2,j,k+1/2)} *((Ezⁿ _{(i+1,j,k+1/2)} –

Ezⁿ _(i,j,k+1/2))/ ∆x - (Exⁿ_{(i+1/2,j,k+1)} - Exⁿ_(i+1/2,j,k))/ ∆z), (2.7)

C_{Hy(i+1/2,j,k+1/2)} = ∆t/ (μ_{(i+1/2,j,k+1/2)} μo)

Exⁿ⁺¹_(i+1/2,j,k) = C1_{Ex(i+1/2,j,k)} Exⁿ_(i+1/2,j,k) +C2_{Ex(i+1/2,j,k)} * (Hz^n+1/2_{(i+1/2,j+1/2,k)} –

Hz^n+1/2_{(i+1/2,j-1/2,k)})/ ∆y - (Hy^n+1/2_{(i+1/2,j,k+1/2)} - Hy^n+1/2_{(i+1/2,j,k-1/2)})/ ∆z) (2.8)

C1_{Ex(i+1/2,j,k)} = (ε_(i+1/2,j,k)εo - 0,5σ_(i+1/2,j,k)∆t)/(ε_(i+1/2,j,k)εo + 0,5σ_(i+1/2,j,k)∆t)

C2_{Ex(i+1/2,j,k)} = ∆t/(ε_(i+1/2,j,k)εo + 0,5σ_(i+1/2,j,k)∆t)

Аналогічні вирази можна отримати для решти чотирьох компонент осередку Yee.

З виразів (2.7) і (2.8) видно, що значення μ, ε та σ задаються для кожного з векторів осередку і можуть бути різними в різних напрямках. Тобто при необхідності можна задати анізотропію матеріалів для Е і/або Н полів.

Вирази (2.7) і (2.8) є достатніми для багатьох вирішуваних завдань, але для розрахунків зосереджених елементів (джерел напруги, індуктивностей, транзисторів і т.п.), а також для розрахунків матеріалів з ​​нелінійними властивостями потрібно їх модифікація. На закінчення слід згадати, що явні кінцево-різницеві схеми вимагають спеціальних умов для сталої роботи. Для методу FDTD це умова має вигляд: Δt ≤ 1 / (v √ ((1/Δx2) + (1/Δy2) + (1/Δz2))), де v - максимальна швидкість електромагнітних хвиль у рахунковому обсязі, а вираз (1/Δx2) + (1/Δy2) + (1/Δz2) знаходиться під знаком квадратного кореня.

Зазвичай v = c (швидкості світла у вакуумі).

При заданих початкових умовах алгоритм Йі дає еволюційне рішення в часі від початку відліку із заданим тимчасовим кроком.

Поля в комірці сітки FDTD. З таких осередків складається просторова тривимірна сітка Йі.

Аналогічна (розділена) сітка використовується при вирішенні задач гідродинаміки (для тиску і поля швидкості).

Як і в будь-якому іншому різницевому методі, в FDTD існує проблема неточного відображення границі тіла на обчислювальну сітку. Будь крива поверхня, що розділяє сусідні середовища і геометрично не узгоджена з сіткою, буде спотворюватися ефектом «сходового наближення». Для вирішення даної проблеми можна використовувати додаткову сітку з великою роздільною здатністю в тих областях простору, де розташовані тіла зі складною геометричною структурою. Також можна видозмінювати різницеві рівняння у вузлах сітки, що знаходяться поблизу кордону між сусідніми тілами. Менш витратним методом є введення ефективної діелектричної проникності поблизу кордону між тілами (subpixel smoothing).

Чисельна схема FDTD не припускає можливості табличного завдання залежності діелектричної проникності від частоти. Однак, її можна представити у вигляді апроксимації (фітинга) членами Дебая, Друде, Лоренца або Лоренца з поглинанням. Така апроксимація не обов'язково має фізичний сенс, і може бути отримана чисельно, наприклад за допомогою програми.

Переваги та недоліки

Як і будь-який інший чисельний метод, FDTD свої переваги і недоліки.

Переваги:

• FDTD - це простий і інтуїтивно зрозумілий метод.

• Оскільки FDTD працює в тимчасовій області, він дозволяє отримати результат для широкого спектру довжин хвиль за один розрахунок. Це може корисно при вирішенні завдань, в яких не відомі резонансні частоти або в разі моделювання широкосмугових сигналів.

• FDTD дозволяє створювати анімовані зображення поширення хвилі в рахунковому обсязі.

• FDTD зручний при завданні анізотропних, дисперсних і нелінійних середовищ.

• Метод дозволяє безпосередньо моделювати ефекти на отворах, так само як ефекти екранування, причому поля всередині і поза екраном можуть бути розраховані як безпосередньо, так і немає.

Недоліки:

• Величина кроку дискретизації по простору повинна бути мала в порівнянні зі спектром досліджуваних довжин хвиль і характерним розміром досліджуваної структури. У деяких випадках (інверсні опали з маленькими перегородками між кульками) це може зажадати сіток з великою роздільною здатністю, що означає великі витрати пам'яті і великий час розрахунку.

• FDTD розраховує поля всередині лічильної області. Якщо потрібно знайти поле на великій відстані від джерела, це вимагає збільшення рахункової області і часу розрахунку. Існують розширення методу для знаходження дальніх полів, але вони вимагають постобробки.