1.Теплові властивості твердих тіл. Теплове розширення. Плавлення і кристалізація. Сплави евтектичного складу.

До теплових властивостей відносяться: теплоємність, теплове розширення, теплопровідність. Розглянемо кожне із цих явищ.

Теплоємність електронного газу

Із розглянутої вище теорії теплоємності Дебая випливає висновок, що теплоємність металів і діелектриків однакова. На перший погляд таке твердження здається дивним. Адже в металах, на відміну від діелектриків, існує система вільних електронів з досить великою концентрацією, порівнянною з концентрацією атомів. При нагріванні металів вони теж повинні поглинати енергію і тому, розглядаючи електронний газ як одночастинний газ, молярна теплоємність якого дорівнює 1,5R, теплоємність металів повинна була б бути більшою від теплоємності діелектриків на цю величину і складати 4,5R. Це протиріччя пояснюється тим, що електронний газ в металах вироджений і тому в поглинанні енергії приймають участь не всі електрони, а тільки невелика їх частка. Ця доля, як показано в розділі 2.4 формула (2.13), не перевищує 1÷2%. Отже, теплова енергія поглинута електронами одного моля речовини, враховуючи (2.13), дорівнює

,

а теплоємність електронного газу

. (3.14)

П ри кімнатній температурі 300К енергія kT≈0,025 еВ, а енергія Фермі Е_F ≈1,5 еВ. Тому теплоємність електронного газу С_е ≈ 0,015R << 3R Тому вона не вносить помітного вкладу в загальну теплоємність твердих тіл. Співвідношення (3.14) показує, що теплоємність електронного газу завжди пропорційна абсолютній температурі, а теплоємність гратки при низьких температурах пропорційна кубу температури. Тому в області наднизьких температур С_e стає більшою, ніж С_гр. На рис.3.3 у збільшеному масштабі показана початкова ділянка рис. 3.1. Видно, що електронна складова теплоємності грає переважну роль при температурах порядку 10К.

В завершення, слід зауважити, що електронна теплоємність у напівпровідниках, а тим більше в діелектриках, не проявляється, так як концентрація електронів у них набагато менша, ніж в металах.

Теплове розширення твердих тіл

Зміна геометричних розмірів твердих тіл при зміні температури називається тепловим розширенням. Для пояснення природи цього явища розглянемо залежність потенціальної енергії U взаємодії між атомами від відстані r між ними (рис. 3.4, суцільна крива 2). Вона відображає крайні положення r₁ і r₂ частинки, яка здійснює ангармонічні (негармонічні) коливання відносно положення рівноваги r_o при температурі відмінній від 0К. Ця крива асиметрична відносно лінії . Ліва вітка іде крутіше, ніж права. Тому відхилення частинки вліво менше, ніж вправо . Середня відстань (точка А) більша від рівноважної . А це й означає розширення кристалу. У випадку протилежної асим етрії кривої потенціальної енергії (рис.3.5) кристал з ростом температури буде стискуватись.

Д ля кількісного описання явища теплового розширення лінійного наближення залежності сили F взаємодії від зміщення , яке приймається в законі Гука, в теорії теплоємності, тепер уже недостатньо. Дійсно, в лінійному наближенні сила , а потенціальна енергія

(3.15)

уявляє собою квадратну параболу (рис. 3.4, крива 1), симетричну відносно положення рівноваги. Тому середня відстань не змінюється. Отже, в ряді розкладення сили по степеням х враховується і квадратичний член з коефіцієнтом ангармонічності g

. (3.16)

Потенціальна енергія, яка знаходиться аналогічно (3.15),

(3.17)

описує асиметричну криву 2 рис. 3.4. Дійсно, знак другого доданку (3.17) змінюється у відповідності із знаком х. При відхиленні вліво x<0 і графік іде вище квадратної параболи, при відхиленні вправо x>0 і крива іде нижче параболи.

Знайдемо коефіцієнт α теплового розширення, як відносну зміну геометричного розміру при зміні температури на 1К

. (3.18)

Середнє зміщення знаходимо усереднивши силу у виразі (3.16). Ясно, що середнє значення сили дорівнює нулю

. (3.19)

Середнє значення потенціальної енергії дорівнює половині повної енергії гратки, тобто

. (3.20)

Тут враховано, що середнє значення , так як в процесі коливань х змінює знак. Із (3.20) знаходимо , підставляємо в (3.19). Одержуємо . Тоді із (3.18) маємо

. (3.21)

О тже температурна залежність коефіцієнта теплового розширення аналогічна рис.3.1 температурній залежності теплоємності гратки. Для більшості металів коефіцієнт теплового розширення знаходиться в межах

10^-4 ÷ 10^-5 К^-1.

Явище теплопровідності заключається в передачі теплоти від більш нагрітих до менш нагрітих частин системи. У фононній моделі твердого тіла передача теплової енергіїї здійснюється фононами. Чим більша температура тим більша енергія і концентрація фононів. За рахунок наявності градієнта концентрації відбувається „дифузія” фононів у напрямку зменшення температури, тобто в напрямку зменшення енргії фононів. Ангармонічний характер коливань атомів твердого тіла являється причиною взаємодії одна з одною негармонічних пружніх хвиль. Або другими словами, фонони розсіюються на фононах аналогично зіткненню між молекулами газу. Фонон-фононна взаємодія викликає появу так званого теплового опору, і чим він більший, тим гірше передається тепло. За відсутності такої взаємодії тепло передавалося б із швидкістю звуку.

Знайдемо коефіцієнт теплопровідності і проаналізуємо його залежність від температури, скориставшись аналогією фононної моделі твердого тіла і молекулярного газу. Рівняння теплопровідності має вигляд (див.Ч1, розд.6.12)

, (3.22)

де q – теплова енергія, яка переноситься за одиницю часу через одиничну площу, перпендикулярну до напрямку градієнта температури , ΔS – площа, χ – коефіцієнт теплопровідності

. (3.23)

Тут: μ – молярна маса, ρ – густина, υ – швидкість руху фононів, тобто швидкість звуку, λ_Ф – довжина вільного пробігу фононів, С – молярна теплоємність твердого тіла. Із усіх цих величин залежними від температури є теплоємність і довжина вільного пробігу, яка, подібно до вільного пробігу молекул газу, обернено пропорційна концентрації фононів.

Таким чином, . (3.24)

Область високих температур Т>>θ_D. У цій області енергія фононів досягає свого максимального значення kθ_D. Енергію гратки можна знайти як енергію усіх фононів, а враховуючи (3.11), можна записати

, звідки (3.25)

к онцентрація фононів пропорційна температурі. Теплоємність, згідно з (3.12), не залежить від температури. Таким чином, одержуємо, що коефіцієнт теплопровідності обернено пропорційний температурі рис. 3.7.

В області низьких температур Т<θ_D енергія гратки, згідно з (3.13) пропорційна Т⁴ , а енергія фононів Е_ф = kT пропорційна температурі. Тому концентрація фононів пропорційна Т³. Теплоємність також ~ Т³. Тому коефіцієнт теплопровідності від температури не залежить.

В області наднизьких температур Т<<θ_D концентрація фононів стає настільки малою, що вони уже між собою не взаємодіють, а розсіюються тільки на поверхні кристалу. (Цей стан аналогічний стану вакууму для газів). Теплоємність у цій області, а отже і коефіцієнт теплопровідності ~ Т³.

 Теплове розширення твердих тіл

При нагріванні переважна більшість твердих тіл підлягає розширенню, що приводять до зміни їх розмірів. Відмінність коефіцієнтів теплового розширення (КТР) викликає появу внутрішніх напружень в плівках, покриттях, адгезійних з'єднаннях, зварних швах і т. д., що не завжди бажано і допустимо. Тому практично важливим є узгодження КТР матеріалів, що йдуть на виготовлення РЕА. Для підбору цих матеріалів і направленої зміни їх КТР потрібні знання фізичної природи самого явища теплового розширення (thermic expansion) тіл.

Причиною теплового розширення тіл є несиметричний характер кривої залежності енергії взаємодії частинок від відстані між ними (рис.4.5). Насправді, якби частинка 2 здійснювала чисто гармонічні коливання біля положення рівноваги, то сила F, що виникає при відхиленні її на відстань х, була б пропорційна х:

F=-bx, (4.22)

а зміна потенційної енергії описувалася б параболою

U(x)=1/2bx2, (4.23)

показаною на рис. кривою. Ця парабола симетрична відносно прямої bd, паралельної осі ординат і віддаленої від неї на відстані . Тому відхилення частинки при коливаннях вправо і вліво були б однаковими і середина розмаху збігалася б з положенням рівноваги 0. Нагрівання в цьому випадку не могло б викликати розширення тіла, оскільки із збільшенням температури відбувалося б лише збільшення амплітуди коливань частинок, а середня відстань між ними залишалися б незмінною.

Насправді ж потенційна крива abc є несеметричною щодо прямої bd: її ліва гілка ba підіймається значно крутіше правої bc. Це означає, що коливання частинок в твердому тілі не є строго гармонічними, вони ангармонічні. Така ангармонічність виявляється тим сильніше, чим сильніше частинки відхиляються від положення рівноваги.

Для розрахунку асиметрії потенційної кривої (potential curve) можна ввести в рівнянні (4.22) додатковий член gx2:

F(x)=-bx+gx2, (4.24)

який приведе до такого виразу для енергії U(x)

U(x)=1/2bx2 –1/3gx2. (4.25)

До розрахунку теплового розширення твердих тіл

При відхиленні частинки 2 вправо (x > 0) член віднімається з і гілка йде пологіше гілки bс'; при відхиленні вліво (x < 0) член додається до і гілка йде крутіше за гілку ba'.

Несиметричний характер кривої призводить до того, що частинка 2, що коливається, відхиляється вправо на більшу відстань ніж вліво. Внаслідок цього середнє положення цієї частинки зміщується вправо, що відповідає збільшенню відстані між частинками на Це і викликає розширення тіла при нагріванні.

Плавлення й кристалізація твердих тіл

Як відомо, усі тіла за певних умов перебувають у цілком визначеному агрегатному стані - твердому, рідкому чи газоподібному. За звичайних умов деревина, граніт, залізо та інші метали — це тверді тіла; вода, бензин, ацетон — це рідини; повітря, метан, кисень — гази. Разом з тим зміна фізичних умов, зокрема температури, може спричинити якісні перетворення їхніх властивостей: тверді тіла можуть стати рідинами, а рідини утворити газоподібну пару; і навпаки, гази можуть бути скраплені, а рідини затверднути.

Ці перетворення відбуваються внаслідок теплопередачі, яка спричиняє зміни внутрішньої енергії тіл. Якщо, наприклад, твердому тілу надавати теплоту, його температура поступово підвищуватиметься, а згодом, з досягненням певної температури, воно почне плавитися. Тепловий процес, під час якого тверде тіло переходить у рідкий стан, називається плавленням.

Плавлення відбувається по-різному у кристалічних і аморфних тіл. У кристалічних тіл, структура яких має чіткий порядок розміщення атомів і молекул, плавлення починається при досягненні певної температури, яка називається температурою плавлення. В аморфних тіл фіксованої температури плавлення немає. Речовини мають різну температуру плавлення. Наприклад, за нормальних умов для вольфраму вона дорівнює 3387 °С, для сталі вона становить 1300-1500 °С, а ртуть плавиться при -39 °С.

Плавлення відбувається обов'язково з поглинанням теплоти. Якщо не надавати її тілу, процес плавлення припиниться. Це пояснюється тим, що для послаблення взаємодії між атомами і молекулами в твердому тілі, яка утримує їх у зв'язаному стані, потрібна додаткова енергія, спроможна зруйнувати таке їх упорядковане розміщення. Завдяки теплопередачі така енергія може надходити до тіла і воно почне поступово плавитися. Під час цього процесу температура тіла не змінюється, оскільки вся енергія йде на руйнування зв'язків між атомами і молекулами.

Оскільки у різних речовин атоми і молекули взаємодіють з неоднаковою силою, то для їх плавлення потрібна різна кількість теплоти. Тому для характеристики енергетичних затрат, пов'язаних із переходом речовини з твердого стану в рідкий, вводять фізичну величину, яка називається питомою теплотою плавлення. Це фізична величина (позначається λ), що дорівнює кількості теплоти, необхідної для перетворення

1 кг речовини із твердого стану в рідкий за температури плавлення. Вона вимірюється в джоулях на кілограм.

Наприклад, питома теплота плавлення льоду дорівнює 332 кДЖ/кг. Це означає, що для того, щоб розстанув 1 кг льоду при О 0С, йому потрібно надати 332 кДЖ теплоти.

Билет1.