15. Экономические задачи, приводящие к нелинейным регрессионным моделям. Кривые Филлипса и Энгеля.

Английский экономист Филлипс, анализируя данные более чем за 100-летний период, в конце 50-х гг. XX в. установил обратную зависимость процента прироста зарплаты от уровня безработицы: y=a+b/x+ε.

С помощью замены z=1/x, для равносторонней гиперболы получим уравнение регрессии y=a+bz, для оценки параметров которого применим МНК и получим следующую систему нормальных уравнений:

При b>0 имеем обратную зависимость, которая при x→∞, характеризуется минимальным значением Y, оценкой которого является a. Так, для кривой Филлипса y=0,00679+0,1862/x величина параметра а=0,00679, означает, что с ростом уровня безработицы темп прироста зарплаты в пределе стремится к 0.

При b<0 имеем медленно повышающуюся функцию с верхней асимптотой а при x→∞. Примером может служить взаимосвязь доли расходов на товары длительного пользования и общих сумм расходов (или доходов). В 1857г. Немецкий статистик Энгель на основе исследования семейных расходов сформулировал закономерность – с ростом дохода (х) доля расходов на продовольствие уменьшается. Следовательно, доля расходов на непродовольственные товары (у) увеличивается до а: у=а-b/x

16. Внутренне линейные парные регрессионные модели, способы их линеаризации

К внутренне линейным моделям относятся:

- степенная функция –  ,

- показательная –  ,

- экспоненциальная –  , (в степени a+bx)

- логистическая – ,(в степени у е -cx)

- обратная –  .

Степенная модель :

Y=A+bX,                    где Y=lny, A=lna, X=lnx

Т.е. МНК мы применяем для преобразованных данных:

Показательная модель  :

Y=A+xB,                    где Y=lny, A=lna, B=lnb

Т.е. МНК мы применяем для преобразованных данных:

Экспоненциальная модель  (в степени a+bx):

Y=a+bx,                      где Y=lny

Т.е. МНК мы применяем для преобразованных данных:

17. Полиномиальная и параболическая регрессии.

(то же самое было в начале 15 вопроса)

Рассмотрим применение МНК для случая полинома второго порядка. Применение МНК для оценки параметров второй степени приводит к следующей системе нормальных уравнений:

Решить её можно методом определителя (Крамера): а=Δа/Δ; b=Δb/Δ; c=Δc/Δ.

Δ – определитель системы; Δа, Δb, Δс – определители, полученные заменой соответствующего столбца на столбец свободных членов.

С помощью замены z=1/x, для равносторонней гиперболы получим уравнение регрессии y=a+bz, для оценки параметров которого применим МНК и получим следующую систему нормальных уравнений:

18. Коэффициент эластичности

Коэффициент эластичности Э показывает, на сколько процентов в среднем изменится показатель У от своего среднего значения при изменении фактора Х на 1% от своей средней величины:

Э=f ‘(x)·x/y (f ‘(x) – производная функции f(x)=y)

Коэффициент эластичности спроса, например, - числовой показатель, характеризующий, в какой мере объем спроса на рынке возрастает при снижении цены или сокращается при повышении цены. Иными словами, коэффициент эластичности спроса показывает, на сколько процентов меняется размер спроса на товар в результате изменения его цены на один процент.

Коэффициент эластичности для эластичного спроса будет больше единицы, для неэластичного спроса — меньше единицы, для единичной эластичности будет равен единице. Отсюда следует, что коэффициент эластичности спроса для совершенной неэластичности будет равен 0, а для совершенно эластичного спроса будет равен бесконечности.