Свойства[править | править исходный текст]

• Центр описанной окружности выпуклого n-угольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Как следствие: если рядом с n-угольником описана окружность, то все серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке (центре окружности).

• Около любого правильного многоугольника(все углы равны) можно описать окружность, и притом только одну.

Для треугольника[править | править исходный текст]

• Около треугольника можно описать окружность, притом только одну. Её центром будет являться точка пересечениясерединных перпендикуляров.

• У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри, у тупоугольного — вне треугольника, упрямоугольного — на середине гипотенузы.

Для четырехугольника[править | править исходный текст]

Вписанный простой (без самопересечений) четырёхугольник необходимо является выпуклым.

Около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180° (  радиан).

Можно описать окружность около:

• любого прямоугольника (частный случай квадрат)

• любой равнобедренной трапеции

• любого четырехугольника, у которого сумма противоположных углов равна 180 градусов

У четырёхугольника, вписанного в окружность, произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин пар противоположных сторон:^[1]

|AC|·|BD| = |AB|·|CD| + |BC|·|AD|

Площадь четырёхугольника, вписанного в окружность, можно вычислить по формуле Брахмагупты:

17. Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех его сторон.

Свойства вписанной окружности:

• В каждый треугольник можно вписать окружность, притом только одну.

Свойства вписанной окружности

• В каждый треугольник можно вписать окружность, при этом только одну

• Центр вписанной окружности называется инцентром, он равноудалён от всех сторон

• Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника

• Окружность называют вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех его сторон.  Окружность, вписанная в многоугольник ABCDE  В каждый треугольник можно вписать окружность, притом только одну.Если сумма противоположных сторон выпуклого четырехугольника равна, то в него можно вписать окружность(верно и обратное)В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их середине.  Описанная окружность  многоугольника — окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка (принято обозначать ) пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.  Можно описать окружность около:любого прямоугольника любой равнобедренной трапециилюбого четырехугольника, у которого сумма противоположных углов равна 180 градусовУ четырёхугольника, вписанного в окружность, произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин пар противоположных сторон.  Около треугольника можно описать окружность, притом только одну. Её центром будет являться точка пересечения серединных перпендикуляров.  У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри, у тупоугольного — вне треугольника, у прямоугольного — на середине гипотенузы.

• Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.Эта точка называется центром правильного многоугольника.