6.4. «Метод динамики средних».
Статистическое или аналитическое моделирование случайных процессов представляют собой удобный математический аппарат только в том случае, когда число возможных состояний моделируемой системы сравнительно невелико. Если же число возможных состояний системы велико (порядка нескольких десятков или сотен), то этот математический аппарат перестает быть удобным. Если даже нам удается найти вероятности всех состояний системы, полученные результаты будут трудно обозримыми. Для того, чтобы их осмыслить, нам придется пользоваться некоторыми средними обобщенными характеристиками (например, в случае моделирования системы массового обслуживания такими характеристиками, как «среднее число занятых каналов» или «среднее число заявок в очереди на обслуживание»). Возникает вопрос: а нельзя ли составить и решить уравнения непосредственно для интересующих нас
средних характеристик, минуя вероятности состояний? Оказывается, можно.
И для решения такой задачи применяется метод динамики средних.
Дадим описание этого метода в применении к задаче моделирования процесса продаж некоторого определенного товара на различных этапах его жизненного цикла.
Задача моделирования ставится следующим образом. Моделируемая экономическая система состоит из производителя товара и N потенциальных
покупателей этого товара. Каждый из покупателей может находиться
в одном из четырех состояний:
0 - покупатель в принципе интересуется рассматриваемым товаром, но еще не предпринимает конкретных шагов для приобретения этого товара;
1 - покупатель проинформирован с помощью рекламы о потребительских свойствах товара, его качестве, цене и месте продажи и находится на стадии «созревания» для покупки товара;
2 - покупатель осуществил покупку товара у производителя;
3 – покупатель осуществил покупку подобного товара у конкурентов
производителя.
Граф переходов системы из состояния в состояние представлен на рис.6.4.
λ
ν
β
d
Рис.6.4. График переходов системы из состояния в состояние
Переход покупателя из состояния 0 в состояние 1 происходит под воздействием потока рекламных импульсов с интенсивностью λ. Обратный
переход из состояния 1 в состояние 0 происходит по различным причинам отказа покупателя от покупки товара. Интенсивность отказов – β. Переход покупателя из состояния 1 в состояние 2 определяется интенсивностью
покупки товара ν, а в состояние 3 интенсивностью d покупки подобного
товара у конкурентов.
Все интенсивности считаются заданными. Вопросы их определения будут рассмотрены ниже.
Требуется определить средние численности состояний системы x0(t),x1(t), x2(t), x3(t), или численности покупателей в каждом состоянии как функции времени. При этом в начальный момент процесса при t = 0
x0(0) = N, x1(0)= 0, x2(0)=0, x3(0)=0. Это - начальные условия
процесс. Величина x2(t) представляет собой обьем продаж товара
производителем за время t.
Для получения зависимостей x0(t), x1(t), x2(t), x3(t) используется метод
динамики средних. В соответствии с этим методом для средних численностей состояний составляются дифференциальные уравнения с использованием следующих правил.
Производная средней численности состояния равна сумме стольких членов, сколько стрелок связано с данным состоянием (рис.5.4); если стрелка направлена из состояния, член имеет знак «минус», если в состояние – знак «плюс». Каждый член равен произведению интенсивности потока
событий, переводящего покупателя по данной стрелке, на среднюю
численность того состояния, из которого исходит стрелка.
В соответствии с этими правилами рассматриваемую экономическую систему описывает следующая система дифференциальных уравнений:
(5.16)
Для каждого t средние численности состояний удовлетворяют условию:
x0 + x1 + x2 + x3 = N,
и поэтому одно (любое) из уравнений (5.16) можно отбросить. Отбросим первое уравнение, а во второе уравнение вместо x0 подставим выражение
x0 = N - x1 - x2 - x3.
Получится окончательно система трех дифференциальных уравнений:
(6.17)
Для решения системы (6.17) используется Mathcad -13 и в нем встроенная функция rkfixed (u,t1,t2,n,D), выдающая матрицу решений методом Рунге – Кутта на временном интервале [t1,t2].
u – вектор начальных условий;
n – количество точек на кривых x1(t), x2(t), x3(t);
D – вектор, содержащий правые части уравнений из системы (6.17):
-
х1(β+
υ + d) + (N - х1
– х2
– х3)λ
D = х1· υ
х1· d
Значения интенсивностей λ, β, υ, d определяются по-разному. Интенсивности λ и υ являются инструментом настройки модели на получение заданных маркетологами значений объема продаж рассматриваемого товара, в конце основных этапов формируемого жизненного цикла товара (этапа выведения товара на рынок, этапа роста, этапа зрелости). При этом интенсивность υ покупок товара непосредственно определяет рост x2(t) – численности покупателей, купивших товар к моменту t от начала этапа, а интенсивность λ оповещения потенциального покупателя о товаре действует на x2(t) опосредованно через формирование на рассматриваемом этапе x1(t) численности оповещенных покупателей, т.к. тема роста покупок тем больше, чем больше величина x1(t).
Значения интенсивностей β и d задаются маркетологами экспертно в зависимости от того, какой этап жизненного цикла товара рассматривается. Удобнее всего задавать β и d как части υ. Тогда β=k1υ , а d = k2υ, где k1 и k2 определяются экспертно в интервале [0,1].
На рис.6.5. показана реализация описанной модели для этапа 2 ЖЦТ (этапа роста), на Mathcade.
λ :=0,045 β :=0 ν :=0,025 d :=0 N := 392000
2,04·105
u := 0 n :=12
0
-х0
·(β + d + ν) + (N – х0
–
х1-
х2)·
λ
D(t,x) := х0· ν
х0·
d
В :=rkfixed (u,12,24,n,D)
Месяц t x1(t) x2(t) x3(t)
-
0
1
2
3
Примечания:
Первая строка таблицы
является начальными
условиями для функций
x1(t), x2(t), x3(t) при
t = t1j-1, где t1j-1 – последний месяц этапа ЖЦТ, предшествующего этапу j – 1.
0
12
2.04·105
0
0
1
13
2.071·105
5.14·103
0
2
14
2.098·105
1.035·104
0
3
15
2.121·105
1.563·104
0
4
16
2.14·105
2.096·104
0
5
В =
17
2.156·105
2.633·104
0
6
18
2.168·105
3.173·104
0
7
19
2.176·105
3.716·104
0
8
20
2.182·105
4.261·104
0
9
21
2.185·105
4.807·104
0
10
22
2.186·105
5.353·104
0
11
23
2.184·105
5.9·104
0
12
24
2.18·105
6.445·104
0
Рис.6.5. Программа вычисления средних численностей состояний
на Mathcad.