6.3. Статистическое моделирование.

В реальных системах управления уровень влияния случайных факторов часто очень высок, и тогда необходимо переходить к другому классу моделей, в которых строго используется аппарат теории вероятностей и математической статистики. Это – класс статистических моделей. Можно указать, по крайней мере, четыре ситуации, в которых целесообразно статистическое моделирование:

- замена натурного эксперимента моделируемой системой с многократным розыгрышем в компьютере различных случайных ситуаций в процессе функционирования этой системы, последующей статистической обработкой результатов моделирования и получением вероятностных распределений выходных показателей системы;

- проверка приемлемости допущений и ограничений, принятых в

аналитической модели изучаемой системы; сравнение результатов аналитического моделирования со статистическим моделированием.

- невозможность реализации аналитической модели из-за ее сложности.

- невозможность аналитического моделирования из-за сложности проблемной ситуации.

Для иллюстрации процесса статистического моделирования рассмотрим несложную систему массового обслуживания (СМО), которая в реальной жизни имеет большое распространение. На входе такой системы имеется случайный поток заявок с интенсивностью λ. Каждая заявка с интенсивностью μ обслуживается одним из n приборов системы. Если в момент прихода заявки все приборы системы заняты, то заявка становится в очередь на обслуживание. Возможна потеря заявок с интенсивностью ν, которые через случайное время покидают очередь. Каждый прибор может выходить из строя с интенсивностью γ₁ и восстанавливаться путем ремонта с интенсивностью γ₂.

Схема моделирования показана на рис. 6.3.

Примеры таких СМО: автозаправочные станции, телефонные станции, станки в механическом цехе (заявками являются детали, которые нужно обработать), посадочные полосы аэропортов, подразделения аппарата

управления фирмы (заявками являются поступающие в подразделение

документы) и т.п.

Статистическая модель описывает во времени функционирование СМО, которое существенно зависит от ряда случайных факторов. Учет влияния этих факторов производится с помощью выделения повторяющихся

на каждом шаге процесса одного из пяти типов ситуаций (поступления заявки в систему, покидания заявкой системы, начало обслуживания заявки, выход прибора из строя, восстановление прибора) и установления логических переходов между ними. Каждая из перечисленных ситуаций характеризуется соответствующим моментом времени начала ситуации, получаемого с помощью розыгрыша. Это – случайные моменты поступления заявки в систему; начала обслуживания заявки; окончания обслуживания; ухода заявки из системы; выхода прибора (канала) из строя; окончания восстановления прибора. Все они распределены по показательному закону соответственно с параметрами

λ, μ, ν, γ₁ , γ_{2 ,}

.

У словные обозначения:

λ - интенсивность поступления заявок в систему;

ν - интенсивность ухода заявки из очереди в связи с потерей необходимости в

обслуживании;

μ – интенсивность обслуживания заявки прибором обслуживания;

γ₁ – интенсивность выхода из строя прибора обслуживания;

γ₂ – интенсивность восстановления прибора обслуживания;

n – число приборов обслуживания;

λ₁ – интенсивность обслуживания заявок системой;

Рис.6.3. Система массового обслуживания с ограниченным ожиданием

Для того чтобы осуществить любой из розыгрышей необходимо использовать компьютерные программы получения случайного числа по заданному распределению случайной величины. Если необходимого распределения в компьютере нет, то используется случайное число, равномерно распределенное в интервале [0,1]. Далее полученное случайное число используется для получения случайного числа, распределенного по соответствующему закону.

Статистическая модель СМО состоит из блока подготовки исходных данных и имитационного алгоритма, реализующего имитационный процесс.

Подготовка исходных данных включает в себя формулировку условий использования модели, закон распределения моделируемых случайных величин, сбор и обработку статистических данных, задание начальных условий для работы модели. К особенностям функционирования модели относятся следующие обстоятельства:

- временнóй шаг моделирования функционирования СМО является переменным и равен интервалу времени t₁ между двумя следующими друг за другом моментами поступления заявок в систему;

- число шагов моделирования определяется задаваемым временем Т

функционирования; последний шаг включает в себя момент Т. Величина Т, наряду с числом реализаций модели К, является важным параметром для настройки статистической модели; Т и К увеличиваются до тех пор, пока выходные величины модели не примут устойчивые значения;

- основными результатами розыгрыша на каждом шаге являются следующие события: заявка начинает обслуживаться на одном из свободных и исправных приборов и обслуживание завершается, в общем случае даже за пределами рассматриваемого временного шага; заявка покидает систему из-за окончания времени ее пребывания в системе (для систем связи – времени старения информации); прибор выходит из строя; вышедший из строя прибор восстанавливается. Если на рассматриваемом шаге появляется несколько событий, то они рассматриваются в порядке их появления.

-розыгрыш событий выхода прибора из строя и его восстановления привязан к шагу моделирования. Если выход прибора из строя происходит на рассматриваемом шаге, то производится розыгрыш как времени восстановления, так и времени исправной работы прибора. Затем

определяется момент восстановления прибора и новый момент выхода его

из строя. Для незанятых приборов, вышедших из строя до рассматриваемого шага, производится циклическое «подтягивание» процесса «восстановления

- выхода из строя» до тех пор, пока момент выхода из строя каждого из этих

приборов не пересечет границу начала рассматриваемого шага.

_,

Выходными величинами модели, которые характеризуют функционирование системы, являются:

- вероятность своевременного обслуживания заявки:

- N₁ – число обслуженных заявок за К реализаций процесса обслуживания;

- N₂ – число заявок, не обслуженных и покинувших систему за К реализаций процесса обслуживания.

- вероятность потери заявки системой - Р_п;

- выходной поток заявок (вероятностное распределение интервала

времени между выходящими заявками) – λ₁.

Несмотря на простоту рассмотренной модели, она имеет большое

применение. Это прежде всего различного рода сети обслуживания: Интернет, сети транспортного обслуживания, аппарат управления любой фирмы как сеть его подразделений, в которой циркулируют многочисленные управленческие документы.

Появляется возможность с помощью результатов моделирования СМО создавать модели сетей обслуживания. Реализация этих моделей позволяет оценивать их конфигурацию, выбирать наилучшие режимы функционирования.