Что такое аксиома, определение, теорема, доказательство теоремы? в чем заключается доказательство методом от противного? Аксиома параллельных прямых и следствия из аксиомы.
Свойства геометрических фигур выражаются различными предложениями: определениями, аксиомами, теоремами, следствиями. Определение есть предложение, которое разъясняет данное понятие через уже известные понятия. Теоремой называется предложение о свойствах фигуры, истинность которых устанавливается в результате рассуждений. Эти рассуждения называются доказательствами. Аксиома – это предложение, которое принимают без доказательства. Аксиома – это истина, достойная признания. Следствием называется предложение, которое вытекает (получается) из теоремы или аксиомы.
Способ доказательства от противного состоит в том, что сначала делается предположение, противоречащее тому, что утверждается в теореме. Затем путем рассуждений, опираясь на аксиомы и доказанные теоремы, приходят к выводу, противоречащему либо условию теоремы, либо одной из аксиом, либо доказанной ранее теореме. На этом основании делается заключение, что предположение было неверным, а значит, верно утверждение теоремы.
Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Следствия из аксиомы.
1
.
Если прямая пересекает одну из двух
параллельных прямых, то она пересекает
и другую.
Дано: a II b; c ∩ a = {M}.
Доказать: c ∩ b.
Доказательство:
Если бы прямая с не пересекала прямую b, то через точку М проходили бы две прямые (прямые а и с), параллельные прямой b. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, прямая с пересекает прямую b.
2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.
Дано: a II с; b II c.
Доказать: a II b.
Доказательство:
Допустим, что a ∩ b = {M}. Тогда через точку М проходили бы две прямые (прямые а и b), параллельные прямой c. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, прямая a параллельна прямой b.
Сформулируйте признаки равнобедренного треугольника. Докажите, что если два угла треугольника равны, то треугольник – равнобедренный.
Признаки равнобедренного треугольника:
1) Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
2) Если в треугольнике высота и биссектриса, выходящие из одной вершины, совпадают, то такой треугольник является равнобедренным.
3) Если в треугольнике высота и медиана, выходящие из одной вершины, совпадают, то такой треугольник является равнобедренным.
4) Если в треугольнике медиана и биссектриса, выходящие из одной вершины, совпадают, то такой треугольник является равнобедренным.
Т
еорема
1 (признак равнобедренного треугольника).
Если в треугольнике два угла равны,
то он равнобедренный.
Дано: ∆АВС; А = С. Доказать: АВ = ВС.
Доказательство:
Данная теорема является следствием теоремы о соотношениях между сторонами и углами в треугольнике.
Пусть в треугольнике два угла равны. Тогда равны и стороны, лежащие против этих углов. Действительно, если предположить, что одна из указанных сторон больше другой, то угол, лежащий против нее, будет больше угла, лежащего против другой стороны, а это противоречит условию (тому, что данные углы равны). Итак, если в треугольнике две стороны равны, то треугольник равнобедренный.
Второй способ доказательства.
1) Дополнительное построение: Проведем высоту из вершины В.
3) Из равенства треугольников следует АВ = ВС АВС - равнобедренный по определению.
Следствие из признаков равнобедренного треугольника:
Если в треугольнике все углы равны, то он равносторонний.
1) Если А = В, то по признаку равнобедренного треугольника ВС = АС.
2) Если А = С, то по признаку равнобедренного треугольника ВС = АВ.
Билет 9.