1. Задачи на построение. Задача построения прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой.

Решение задачи состоит не столько в построении фигуры, сколько в решении вопроса о том, как это сделать, и соответствующем доказательстве. Задача считается решенной, если указан способ построения фигуры и доказано, что в результате выполнения указанных построений действительно получается фигура с требуемыми свойствами.

Построение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой.

Пусть дана прямая n и точка С, не лежащая на ней. Через точку С построить прямую, параллельную прямой n.

1). Произвольным раствором циркуля проводим окружность с центром в точке С так, чтобы она пересекла прямую n в двух точках А и В.

2). На прямой n от одной из полученных точек (на чертеже от точки В в любую сторону откладываем отрезок, равный радиусу СВ. Получим точку Н.

3). Из точки Н тем же раствором циркуля проводим дугу до пересечения с окружностью в некоторой точке (на чертеже это точка Т).

4). С помощью линейки проводим прямую СТ.

Доказательство: Докажем, что СТ II n.

1) Проведем прямую СН и рассмотрим образовавшиеся треугольники ВСН и СТН.

2)

3) (внутренние накрест лежащие)  СТ II n.

2. Определение равнобедренного, равностороннего, прямоугольного треугольника. Признаки равнобедренного треугольника. Доказать, что если медиана совпадает с высотой, то треугольник равнобедренный.

Определение 1. Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми, а третья сторона треугольника - основанием. Углы, прилежащие к основанию равнобедренного треугольника, называются углами при основании. Угол, противолежащий основанию, называется углом при вершине.

Определение 2. Треугольник называется равносторонним или правильным, если все его стороны равны. У равностороннего треугольника все углы равны.

Определение 3. Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой. Стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол, называются катетами, а третья сторона треугольника, лежащая против прямого угла, - гипотенузой. .

Признаки равнобедренного треугольника:

1) Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

2) Если в треугольнике высота и биссектриса, выходящие из одной вершины, совпадают, то такой треугольник является равнобедренным.

3) Если в треугольнике высота и медиана, выходящие из одной вершины, совпадают, то такой треугольник является равнобедренным.

4) Если в треугольнике медиана и биссектриса, выходящие из одной вершины, совпадают, то такой треугольник является равнобедренным.

Т еорема 1 (признак равнобедренного треугольника). Если в треугольнике высота и медиана, выходящие из одной вершины, совпадают, то такой треугольник является равнобедренным.

Дано: ∆АВС; ВЕ - медиана и высота.

Доказать: ∆АВС - равнобедренный.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники АЕВ и ВEС.