1. Какая фигура называется лучом? Какие лучи называются дополнительными? Какие углы называются смежными. Сформулируйте и докажите свойство смежных углов. Следствия из данной теоремы.

О пределение 1. Точки прямой, лежащие по одну сторону от некоторой точки О этой прямой, вместе с точкой О образуют луч или полупрямую. Точку О называют началом луча.

Лучи обозначаются двумя большими буквами, первая из которых (О) указывает начало луча, а вторая – например B – произвольная точка на луче. Всякий луч имеет начало, но не имеет конца.

Определение 2. Различные полупрямые одной и той же прямой, имеющие общую начальную точку, называются дополнительными. OA и OB – дополнительные полупрямые.

Определение 3. Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными полупрямыми, называются смежными.

На рисунке углы АОС и ВОС смежные. Дополнительными полупрямыми являются лучи ОА и ОВ, а общей стороной смежных углов – луч ОС.

Т еорема о свойстве смежных углов: Сумма смежных углов равна 180°.

Дано: АОС и ВОС – смежные.

Доказать:

Доказательство:

1) - развернутый.

2) Луч ОС лежит между сторонами  АОВ. По аксиоме измерения углов:

3) Следовательно, что и требовалось доказать.

Следствия:

1. Если два угла равны, то равны и смежные с ними углы.

Дано: АОС и ВОС – смежные;

PNK и KND – смежные; АОС = PNK.

Доказать:

Доказательство:

1) АОС и ВОС – смежные  



2) PNK и KND – смежные  



что и требовалось доказать.

2. Если угол не развернутый, то его градусная мера меньше 180°.

Дано: АОС – не развернутый. Доказать:

Доказательство:

1) Если АОС не развернутый, то, построив дополнительный к лучу ОА луч ОВ, получим ВОС – смежный с углом АОС.

2) (по свойству смежных углов)   что и требовалось доказать.

Определение 4. Угол, равный 90°, называется прямым.

3. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Дано: АОС – прямой. Доказать: - прямой.

Доказательство:

1) - по определению как прямой.

2) АОС и ВОС – смежные  по свойству смежных углов.

3)  прямой, что и требовалось доказать.

Определение 5. Угол, меньший 90°, называется острым, а угол, больший 90°, называется тупым.

2. Какая окружность называется описанной около треугольника? Сформулируйте и докажите теорему об окружности, описанной около треугольника. Сколько окружностей можно описать около данного треугольника?

Определение 1. Треугольник называется вписанным в окружность, а окружность – описанной около треугольника, если все вершины треугольника лежат на окружности.

Теорема 1. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Д ано:  АВС; KK₁, NN₁, PP₁ - серединные перпендикуляры.

Доказать: KK₁ ∩ NN₁ = {O}; KK₁ ∩ PP₁ = {O}.

Доказательство:

1. Пусть серединные перпендикуляры KK₁ и NN₁ пересекаются в точке О. Соединим точку О с вершинами треугольника АВС.

2. По характерному свойству серединного перпендикуляра ОА = ОВ, так как точка О лежит на серединном перпендикуляре KK₁; и OВ = OС, так как точка О лежит на серединном перпендикуляре NN₁. Следовательно, ОA = ОB = OC.

3. Если ОA = OC, то точка О равноудалена от концов отрезка АС и лежит на серединном перпендикуляре РР₁.

Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника равноудалена от всех его вершин и является центром описанной окружности.

Теорема 2: Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.

Дано: АВС.

Д оказать:

1). Существование описанной окружности с центром в точке О.

2) Единственность такой окружности.

Доказательство:

1. В произвольном треугольнике АВС обозначим буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров, так как все серединные перпендикуляры в треугольнике пересекаются в одной точке. Соединим точку O с вершинами треугольника. Отрезки AO = ВO = CO, так как точка O равноудалена от вершин треугольника. Поэтому окружность с центром в точке O проходит через все вершины треугольника АВС и является описанной около треугольника.

2. Допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки O до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают.

Билет № 4.

1. Определение, изображение, обозначение луча (полупрямой). Какие полупрямые называются дополнительными? Какие углы называются вертикальными? Сформулируйте и докажите свойство вертикальных углов.

О пределение 1. Точки прямой, лежащие по одну сторону от некоторой точки О этой прямой, вместе с точкой О образуют луч или полупрямую. Точку О называют началом луча.

Лучи обозначаются двумя большими буквами, первая из которых (О) указывает начало луча, а вторая – например B – произвольная точка на луче. Всякий луч имеет начало, но не имеет конца.

Определение 2. Различные полупрямые одной и той же прямой, имеющие общую начальную точку, называются дополнительными. OA и OB – дополнительные полупрямые.

Определение 3. Два угла называются вертикальными, если стороны одного из них являются продолжениями сторон другого.

Н а рисунке углы АОС и ВОD вертикальные: ОА и ОВ – дополнительные полупрямые, OC и OD - дополнительные полупрямые. Также вертикальными являются углы АOC и ВOD.

Теорема о свойстве вертикальных углов. Вертикальные углы равны.

Дано: АОD и ВОС – вертикальные.

Доказать:

Доказательство:

1) АОС и ВОС – смежные;

-по свойству смежных углов;

2) АОD и АОС – смежные;

-по свойству смежных углов;

что и требовалось доказать.

2. Какая окружность называется вписанной в треугольник? Сформулируйте и докажите теорему об окружности, вписанной в треугольник. Сколько окружностей можно вписать в данный треугольник?

Определение 1. Треугольник называется описанным около окружности, а окружность – вписанной в треугольник, если все стороны треугольника лежат на касательных к окружности.

Теорема 1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Д ано:  АВС; АА₁, ВВ₁, СС₁ - биссектрисы.

Доказать: АА₁ ∩ ВВ₁ = {O}; АА₁ ∩ СС₁ = {O}.

Доказательство:

1. Пусть биссектрисы АА₁ и ВВ₁ пересекаются в точке О. Построим из точки О перпендикуляры OK, ON и OP к сторонам АВ, ВС и АС треугольника.

2. По характерному свойству биссектрисы ОК = ОР, так как точка О лежит на биссектрисе АА₁; и OK = ON, так как точка О лежит на биссектрисе ВВ₁. Следовательно, ОК = ОР = ON.

3. Если ОР = ON, то точка О равноудалена от сторон угла С и лежит на биссектрисе СС₁.

Вывод: Точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от всех его сторон и является центром вписанной окружности. Точка пересечения биссектрис треугольника называется инцентром.

Теорема 2: В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.

Д ано: АВС. Доказать:

1). Существование вписанной окружности с центром в точке О.

2) Единственность такой окружности.

Доказательство:

1. В произвольном треугольнике АВС обозначим буквой О точку пересечения биссектрис, так как все биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке. Опустим из точки O перпендикуляры на все стороны треугольника. Так как точка О равноудалена от сторон треугольника, то отрезки OK = ON = OP. Поэтому окружность с центром в точке O касается всех сторон треугольника АВС и является вписанной в него.

2. Допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от сторон треугольника и поэтому совпадает с точкой пересечения биссектрис углов треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до сторон треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают.

Билет № 5.