1. Соединим концы хорды с центром окружности.

Рассмотрим COD. CO = OD = R 

COD –равнобедренный.

2. В ∆ COD OT – медиана по определению (СT = TD)

 OT – высота.  AB  CD.

3. Из ∆ABD = ∆DBC  AВD = СВD. 

ВD – биссектриса по определению.

Следствие 1. Расстояние от центра окружности до хорды равно расстоянию от центра до середины хорды.

Теорема 2 (обратная теорема). Если диаметр перпендикулярен хорде, не являющейся диаметром, то он проходит через середину хорды.

Дано: O – окружность; АВ - диаметр; CD – хорда. АВ ∩ CD = {T}. AB  CD.

Доказать: CT = TD.

Доказательство:

1. Соединим концы хорды с центром окружности. Рассмотрим COD. CO = OD = R

 COD –равнобедренный.

2. В ∆cod ot – высота (ab  cd).  от - медиана по св-ву равнобедренного треугольника

 СT = TD.

Билет № 23.

1. Сформулировать и доказать теорему о дугах окружности, заключенных между параллельными хордами.

Т еорема о дугах окружности, заключенных между параллельными хордами. Дуги окружности, заключенные между параллельными хордами, равны.

Дано: O – окружность; АВ II CD - хорды.

Доказать: AB = BD.

Доказательство:

1. Проведем хорду AD - секущую по отношению к прямым АВ и CD.

2. ВAD = СDА (внутренние накрест лежащие при АВ II CD и секущей AD.

3. ВAD и СDА - вписанные по определению 

2. Задачи на построение. Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Многие построения в геометрии могут быть выполнены с помощью только циркуля и линейки без масштабных делений. Решение задачи состоит не столько в построении фигуры, сколько в решении вопроса о том, как это сделать, и соответствующем доказательстве. Задача считается решенной, если указан способ построения фигуры и доказано, что в результате выполнения указанных построений действительно получается фигура с требуемыми свойствами.

З адача на построение состоит из четырех частей:

1). Отыскание способа решения задачи путем установления связей между искомыми элементами и данными задачи. Эта часть называется анализом задачи. Анализ дает возможность составить план решения задачи.

2). Выполнение построения по намеченному плану.

3). Доказательство того, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи.

4). Исследование задачи, т. е. выяснение вопроса о том, при любых ли данных задача имеет решение, и если имеет, то сколько решений.

Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам:

1). С помощью линейки проводим произвольную прямую р и отмечаем на ней произвольную точку C.

2). На луче С откладываем отрезок СВ = а.

3) От луча СВ строим, равный углу С.

4) От луча ВС строим, равный углу В.

5) Построенные лучи пересекаются в точке А.

6) Соединяем точку А с точками С и В.

 АВС – искомый.

Исследуем полученное решение. Согласно второму признаку равенства треугольников полученный треугольник - единственный.

Задача не имеет решения, если оба заданных угла тупые (теорема о сумме углов треугольника).

Билет № 24.