1. Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника. Следствия их данной теоремы.
Теорема 1: В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
Д
ано:
∆АВС; AB
> AC.
Доказать:
Доказательство:
Отложим на стороне АВ отрезок AD = AC. AB > AD, D AB. Сл-но, ACD - часть ACB и ACD < ACB.
ADC – внешний угол треугольника ∆BDC, ADC > B.
∆ABC – равнобедренный по построению (AD = AC). Следовательно, ACD = ADC.
Теорема 2: В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Дано: ∆АВС; Доказать: AB > AC.
Доказательство от противного:
Предположим, что это не так. Тогда либо АВ = АС, либо АВ < AC.
В первом случае ∆АВС – равнобедренный C = B.
Во втором случае C < B (против большей стороны лежит больший угол).
И то, и другое противоречит условию Следовательно, наше предположение неверно, AВ > AC.
Следствия из теорем.
Следствие 1: В тупоугольном треугольнике против тупого угла лежит наибольшая сторона.
Тупой угол больше острого. Следовательно, сторона, лежащая против тупого угла, больше стороны, лежащей против острого угла.
Следствие 2: В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
Гипотенуза лежит против прямого угла, а катет – против острого. Так как прямой угол больше острого, то гипотенуза больше катета.
Следствие 3: Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).
Пусть в треугольнике два угла равны. Тогда равны и стороны, лежащие против этих углов. Действительно, если предположить, что одна из указанных сторон больше другой, то угол, лежащий против нее, будет больше угла, лежащего против другой стороны, а это противоречит условию (тому, что данные углы равны). Итак, если в треугольнике две стороны равны, то треугольник равнобедренный.
2. Определение серединного перпендикуляра к отрезку. Свойство серединного перпендикуляра к отрезку.
О
пределение
1.
Прямая, перпендикулярная к отрезку
и проходящая через его середину,
называется серединным
перпендикуляром
к данному отрезку.
Характерное свойство серединного перпендикуляра (прямая теорема). Каждая точка серединного перпендикуляра равноудалена от его концов.
Доказательство:
Пусть дан отрезок АВ и серединный перпендикуляр к нему n, пересекающий отрезок АВ в точке С. Возьмем произвольную точку D на серединном перпендикуляре n и соединим ее с концами отрезка АВ отрезками AD и BD.
Рассмотрим полученные треугольники AСD и ВCD.
AСD = ВCD = 90°; DС – общая;
АС = CВ (n – серединный перпендикуляр);
AСD = ВCD (как прямоугольные по двум катетам).
АD = ВD.
Характерное свойство серединного перпендикуляра (обратная теорема). Точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на его серединном перпендикуляре.
Доказательство:
Пусть дан отрезок АВ и точка D, не лежащая на отрезке АВ и расположенная таким образом, что AD = BD.
Построим DC AB. Рассмотрим полученные треугольники AСD и ВCD.
AСD = ВCD = 90°; АD = ВD (по условию); DС – общая;
AСD = ВCD (как прямоугольные по гипотенузе и катету). АС = СВ.
Понятие геометрического места точек. Пусть геометрическая фигура имеет характерное свойство, определяющее, какие точки принадлежат фигуре. Тогда про эту фигуру говорят, что она является множеством точек, обладающих данным свойством (или геометрическим местом точек, обладающих данным свойством).
Определение 2. Серединный перпендикуляр к отрезку – это геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка.
Билет № 17.