Билеты по геометрии. 7 класс. 2014.

Билет № 1.

1. Что изучает геометрия? Разделы геометрии: планиметрия и стереометрия. Основные фигуры геометрии (определение, изображение и обозначение). Что называется аксиомой, теоремой, определением? Аксиома принадлежности точек и аксиома прямой. Аксиома расположения точек на прямой (формулировка, чертеж, символическая запись).

Геометрия – это раздел математики, который изучает пространственные отношения и формы реального мира. Термин «геометрия» происходит от греческих слов «гео» - земля и «метреу» - измерение. По свидетельству древнегреческого историка Геродота геометрия зародилась в Египте и началась с измерения земельных участков. Такие измерения египтяне были вынуждены производить постоянно из-за разливов Нила. Геометрия – это наука о свойствах геометрических фигур.

Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на плоскости, называется планиметрией. Это слово происходит от латинского planum – «плоскость». Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве, называется стереометрией.

Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Точка не имеет размеров. Представление о точке дает след конца карандаша на листе бумаги. Точки принято обозначать прописными латинскими буквами: A, B, C, D…. Прямая бесконечна. Представление о прямой дает натянутая нить. Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: a, b, c, d… .

В стереометрии к этим фигурам добавляется плоскость.

В геометрии только самые начальные сведения берутся из практики и наблюдения, они наглядны и очевидны. Все ее дальнейшие утверждения обосновываются путем логических рассуждений. Сначала вводятся понятия, которые определить нельзя; их можно только пояснить, показать на примерах. Эти понятия являются исходными, основными. Все остальные понятия определяются через основные. Доказывая какое-то утверждение, теорему, обычно опираются на некоторые предпосылки, на то, что считается известным. Такие исходные положения – аксиомы – принимаются без доказательства и составляют основу для доказательства теорем. При этом список аксиом должен быть таков, чтобы, опираясь на них, можно было получить необходимые выводы. Список основных понятий и формулировки аксиом составляют основания планиметрии. После того как выделены основные понятия и сформулированы аксиомы, все дальнейшие утверждения выводятся чисто логическим путем. Такой способ построения научных знаний называют аксиоматическим методом.

Свойства геометрических фигур выражаются различными предложениями: определениями, аксиомами, теоремами, следствиями. Определение есть предложение, которое разъясняет данное понятие через уже известные понятия. Теоремой называется предложение о свойствах фигуры, истинность которых устанавливается в результате рассуждений. Эти рассуждения называются доказательствами. Аксиома – это предложение, которое принимают без доказательства. Аксиома – это истина, достойная признания. Следствием называется предложение, которое вытекает (получается) из теоремы или аксиомы.

Аксиомы взаимного расположения точек и прямых на плоскости.

Аксиома принадлежности точек прямой. Существует бесконечное множество точек, принадлежащих данной прямой, и бесконечное множество точек, не принадлежащих данной прямой.

Аксиома прямой. Через две различные точки можно провести прямую и притом только одну.

A  a; B  a. C  b. D  b. Согласно аксиоме прямой прямую можно обозначать не только строчной латинской буквой, но и двумя прописными латинскими буквами: CD = b.

Аксиома расположения точек на прямой.

1 . Всякая точка О, лежащая на прямой, делит эту прямую на два луча так, что любые две точки одного луча лежат по одну сторону от точки О, а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от точки О. Точка О принадлежит при этом обоим лучам.

2. Из трех различных точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

2. Определение треугольника. Какие треугольники называются равными? Сформулировать признаки равенства треугольников. Доказать первый признак равенства треугольников.

Определение 1. Треугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Элементы треугольника: 1) вершины: А, В, C; 2) стороны: АВ, ВC, АС; 3) углы:  А,  В,  C.

Обозначение треугольника: ∆ АВС.

О пределение 2. Треугольники называются равными, если их можно совместить наложением.

В таком случае у них попарно равны все соответственные элементы: АВ = А₁В₁; АС = А₁С₁; ВС = В₁С₁; А = А₁; В = В₁;

С = С₁. Обозначение равенства треугольников: ∆АВС = ∆А₁В₁С₁.

При этом имеет значение порядок, в котором записываются вершины треугольника. Равенство: ∆АВС = ∆А₁В₁С₁ означает, что А = А₁; В = В₁; С = С₁.

Соответственно равенство: ∆ АВС = ∆ MNQ означает, что в этих треугольниках А = M; В = N; С = Q.

Существование треугольника, равного данному.

Пусть есть АВС и луч а. Переместим АВС так, чтобы его вершина А совместилась с началом луча а, вершина В попала на луч а, а вершина С оказалась в заданной полуплоскости относительно луча а. Вершины полученного треугольника обозначим А₁, В₁, C₁. Треугольник А₁В₁С₁ равен треугольнику АВС.

Аксиома о существовании треугольника, равного данному. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.

Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство первого признака равенства треугольников.

П о Погорелову.

Дано: АВС и А₁В₁С₁; А = А₁; АВ = А₁В₁; АС = А₁С₁.

Доказать: АВС = А₁В₁С₁.

Доказательство:

1. Пусть А₁В₂С₂ – треугольник, равный треугольнику АВС, с вершиной В₂ на луче А₁В₁ и вершиной С₂ в той же полуплоскости относительно прямой А₁В₁, где лежит вершина С₁.

2. Т. к. А₁В₁ = А₁В₂, то вершина В₂ совпадает с вершиной В₁.

3. Т.к. В₁А₁С₁ = В₂А₁С₂, то луч А₁С₂ совпадает с лучом А₁С₁.

4. Т.к. А₁С₁ = А₁С₂, то вершина С₂ совпадает с вершиной С₁.

5. А₁В₁С₁ совпадает с А₁В₂С₂,  равен АВС.

По Атанасяну.

Дано: АВС и А₁В₁С₁; А = А₁; АВ = А₁В₁; АС = А₁С₁.

Доказать: АВС = А₁В₁С₁.

Доказательство:

1. Совместим вершину А₁ А₁В₁С₁ с вершиной А АВС.

2. Наложим отрезок А₁С₁ на отрезок АС. Они совпадут, так как А₁С₁ = АС по условию.

3. Так как А = А₁ по условию, луч А₁В₁ накладывается на луч АВ.

4. Отрезки А₁В₁ и АВ совпадут, так как А₁В₁ = АВ по условию.

5. Вершина В₁ совпала с вершиной В, С₁ с вершиной С. Отрезки ВС и В₁С₁ совпали  ВС = В₁С₁.

6 . Угол C = C₁ и В = В₁, так как они совмещаются наложением.

7.

Билет № 2.

1. Определение отрезка, середины отрезка. Определение угла, биссектрисы угла. Аксиома откладывания отрезков и углов, аксиома измерения отрезков и углов (формулировка, чертеж, символическая запись).

Определение 1. Множество точек, состоящее из точек А и В, а также точек, лежащих между ними, называется отрезком.

О пределение 1а. Часть прямой, ограниченная двумя точками, называется отрезком.

Такой отрезок обозначают АВ или ВА. Точки А и В называются концами отрезка, а все другие точки отрезка называются его внутренними точками.

О пределение 2. Точка отрезка, делящая его пополам, т. е. на два равных отрезка, называется серединой отрезка.

AB = BC  В - середина отрезка.

О сновное свойство откладывания отрезков (аксиома откладывания отрезков): На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и притом только один.

Чтобы сравнить два отрезка, нужно наложить один отрезок на другой, чтобы конец одного отрезка совместился с концом другого. Если при этом отрезки полностью совместятся, то они равны. Если же отрезки не совместятся, то меньшим считается тот, который составляет часть другого. У меньшего отрезка длина меньше. АВ < MP.

Аксиомы измерения отрезков: 1. Каждый отрезок имеет положительную длину. Длина отрезка равна сумме длин двух частей, не которые он разбивается любой его точкой. 2. Каково бы ни было положительное число, существует отрезок, длина которого равна этому числу.

Измерение отрезков основано на сравнении их с некоторым отрезком, принятым за единицу измерения (иначе масштабным отрезком).

Определение 3. Длина отрезка – это расстояние между концами данного отрезка. Выбрав единицу измерения можно измерить любой отрезок, т. е. выразить его длину некоторым положительным числом. Это число показывает, сколько раз единица измерения и ее части укладываются в измеряемом отрезке. Для измерения отрезков применяются различные измерительные инструменты. Простейшим таким инструментом является линейка.

Е сли два отрезка равны, то единица измерения и ее части укладываются в этих отрезках одинаковое число раз, т. е. равные отрезки имеют равные длины. Если же один отрезок меньше другого, то единица измерения и ее части укладываются в этом отрезке меньшее число раз, чем в другом, т. е. меньший отрезок имеет меньшую длину.

Определение 4. Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а общее начало лучей – вершиной угла. Угол разделяет плоскость на две части. Одна из частей называется внутренней областью угла, а другая – внешней областью угла. Фигуру, состоящую из угла и его внутренней области, также называют углом.

Угол можно обозначить тремя способами: