§4.4 Приложения определенных интегралов
4.4.1. Вычисление площади плоской фигуры
Площадь
криволинейной трапеции, ограниченной
кривой
,
где
,
прямыми
и
и отрезком
оси x
(рис. 24), вычисляется по формуле
Рис. 24.
Площадь
фигуры, ограниченной графиками функций
и
(где
)
и прямыми
и
(рис. 25),
находится по формуле
.
Рис. 25.
Если
кривая l
задана параметрическими уравнениями
,
то площадь криволинейной трапеции,
ограниченной этой кривой, прямыми
и
и отрезком
оси x,
выражается формулой
где
и
определяются из условий
,
.
Формула верна, если при
выполнено неравенство
.
Эту же формулу можно применять для
вычисления площади фигуры, ограниченной
заданной параметрически кривой, то есть
в случае, когда
и
.
При этом порядок пределов интегрирования
надо выбирать так, чтобы при изменении
t
от t1
до t2
фигура оставалась справа.
Площадь
криволинейного сектора, ограниченного
кривой, заданной в полярных координатах
уравнением
и двумя лучами
(рис. 26), вычисляется по формуле
.
Рис. 26.
Замечание.
Полярными
координатами
точки М
являются
и
:
– полярный радиус (расстояние от точки
О,
называемой полюсом, до точки М)
и
– полярный угол (угол между полярным
радиусом и осью Ох)
(рис. 27).
Рис. 27.
Связь между полярными координатами и декартовыми:
.
Пример
4.28.
Вычислить
площадь фигуры, ограниченной параболой
и осью
(рис.
28).
Рис. 28.
Решение.
Парабола пересекает ось
в точках
и M(3;
0). Следовательно,
.
Пример
4.29.
Вычислить
площадь фигуры, ограниченной параболой
и прямой
(рис. 29).
Рис. 29.
Решение.
Найдем точки пересечения параболы и
прямой, для чего решим систему уравнений:
или
.
Левую
часть последнего уравнения можно
разложить на множители:
откуда
,
и
Значит, заданные линии пересекаются в
точках
и
.
Следовательно,
.
Пример 4.30. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной кривой
Решение.
Кривая является замкнутой, и один оборот
проходится при изменении t
от
до
.
При этом ограниченная кривой фигура
находится справа при таком изменении
t.
Поэтому, так как
,
и t
изменяется от
до
.
Следовательно,
Пример
4.31.
Вычислить
площадь плоской фигуры, ограниченной
кривыми
.
Решение. Эти кривые суть окружности радиуса 1 и 2 соответственно, касающиеся в точке (0; 0) (рис. 30).
Рис. 30.
Так
как по определению
то
и, значит, угол
меняется от
до
.
Тогда
4.4.2. Вычисление длины дуги плоской кривой
Если
кривая задана уравнением
,
и производная
непрерывна на
,
то длина l
дуги АВ
(рис. 31) вычисляется по формуле
.
Рис. 31.
При
параметрическом задании кривой
,
где
– непрерывно дифференцируемые функции,
длина дуги кривой, соответствующая
монотонному изменению параметра
от
до
,
вычисляется по формуле
.
Если
кривая задана в полярных координатах
уравнением
,
и
непрерывна, то длина дуги кривой равна
.
Пример
4.32.
Вычислить
длину дуги кривой
от
до
Решение.
Найдем производную
:
Следовательно,
.
Пример 4.33. Вычислить длину дуги кривой
Решение.
Найдем производные по параметру
:
.
Следовательно,
.
Пример
4.34.
Вычислить
длину дуги кривой
от
до
Решение.
Имеем
Следовательно,
