Задание 3.5. Составить уравнения нормальной плоскости и касательной к кривой в заданной точке.

3.5.0.
3.5.1.
3.5.2.
3.5.3.
3.5.4.
3.5.5.
3.5.6.
3.5.7.
3.5.8.
3.5.9.

Раздел 4. Интеграл и его приложения (Контрольная работа n 4)

§4.1. Неопределенный интеграл

4.1.1. Первообразная и неопределенный интеграл

Первообразной функции называется функция производная которой равна функции , то есть

.

Если – некоторая первообразная функции , то любая другая первообразная этой функции имеет вид где – произвольная постоянная.

Совокупность всех первообразных функции называется неопределенным интегралом и обозначается

.

Если – некоторая первообразная функции то

где – произвольная постоянная.

Очевидно, .

Свойства неопределенного интеграла

1)

2)

3) Если то

4) Если то

(внесение под знак дифференциала).

Таблица основных интегралов

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.	;
10.	;
11.
12.	.

Часто интеграл можно найти, основываясь только на свойствах 1-4 и табличных интегралах.

Пример 4.1. Найти интеграл

Решение. Воспользуемся пунктом 9 таблицы интегралов и свойством 2:

.

Пример 4.2. Найти интеграл .

Решение. Воспользуемся п.п.1,4 таблицы интегралов и свойством  2:

Пример 4.3. Найти интеграл

Решение.

Пример 4.4. Найти интеграл

Решение. Используем свойства 2 и 3.

Здесь так что

.

Пример 4.5.

Найти интеграл

Решение. Используем свойство 4. Здесь

Пример 4.6. Найти интеграл

Решение. Здесь

Пример 4.7. Найти интеграл

Решение. Здесь

4.1.2. Интегрирование с помощью замены переменной

Справедлива формула замены переменной в неопределенном интеграле: если , то

.

После того, как найдена первообразная в правой части последнего равенства, следует вернуться к старой переменной с помощью обратной замены .

Пример 4.8. Найти интеграл .

Решение. Сделаем замену переменной:

, , и тогда

.

Для интегралов вида удобно делать подстановку , (свойство 4).

Пример 4.9. Найти интеграл

Решение. Пусть тогда

После подстановки в исходный интеграл получим

.

Пример 4.10. Найти интеграл

Решение. Сделаем замену переменной:

, ;

, .

.

4.1.3. Интегрирование по частям

Формула интегрирования по частям:

.

Обычно выражение выбирается так, чтобы его интегрирование не вызывало особых затруднений. За , как правило, принимается такая функция, дифференцирование которой приводит к ее упрощению. К классам функций, интегрируемых по частям, относятся, в частности, функции вида

где – многочлен от x.

Пример 4.11.

Решение. Положим отсюда найдем

Применим формулу интегрирования по частям:

.

Пример 4.12. Найти интеграл .

Решение. Пусть , , тогда , . По формуле интегрирования по частям имеем:

.

Пример 4.13. Найти интеграл

Решение. Пусть , , тогда , . Воспользуемся формулой интегрирования по частям:

Пример 4.14. Найти интеграл .

Решение. Обозначим , , тогда , . По формуле интегрирования по частям имеем:

.

К последнему интегралу вновь применим формулу интегрирования по частям: , ; , .

.

Окончательно получим

.