Вопрос №1. Дать определение понятию «Формальная система»

Формальные система (ФС)- представляет собой совокупность чисто абстрактных объектов не связанных с внешним миром, в которой представлены правила оперирования множеством символов только в синтаксической трактовке, без учета смыслового содержания.

Вопрос №2. В каком порядке осуществляется формирование формальной теории

Формирование ФТ (теории) осуществляется в следующем порядке:

1. Задается конечное множество символов (алфавит).

2. Устанавливаются процедуры построения формул.

3. Устанавливается множество аксиом, то есть формул, которые истинны

ФТ-называют исчислением, под исчислением понимают формальное представление теории, которая позволяет оперировать с объектами без учета формального смысла выражений.

Вопрос №3. Понятие формулы ив

Это ФС интерпретацией которой является алгебра высказываний

Основной задачей ИВ является порождение обще логических законов – это тождественно истинных высказываний

Применительно к алгебре высказываний аксиоматический подход состоит в следующем:

1. Из всех формул алгебры высказываний выделяется некоторая часть, и они объявляются аксиомами

2. определяется некоторое правило, по которому из одних формул можно получить другие

3. правила выделяются так, что из аксиом могут быть получены все тавтологии алгебры высказываний.

Вопрос №4. Понятие доказуемой формулы

1. Всякая аксиома является доказуемой

2. Формула, получаемая из доказуемой формулы путем применения подстановки, есть доказуемая формула

3. Формула В, получаемая из доказуемых формул А и А->В путем применения правила заключения есть доказуемая формула

Правило подстановки – если формула А доказуемая, x – переменная, В – произвольная формула ИВ, то формула, полученная в результате замены в формуле А переменной х всюду, где находится формула В является также доказуемой формулой.

Уточнение правила:

-если формула А есть переменная х, то подстановка даёт формулу В

-если А переменная у, то подстановка дает формулу А

-если А формула для которой уже определена, то подстановка В вместо х в отрицание А есть отрицание подстановки.

-если А1 и А2 формулы для которых подстановки уже определены, то подстановка

|- А ( доказуема А)

Правила подстановки-> если формула А доказуема то доказуема и

Правила исключения

Если формулы А и А->В доказуемы, то формула В тоже доказуема.

Вопрос №5. Производные правила вывода.

Получаются с помощью правил подстановки и заключения и позволяют получить новые доказуемые формулы

1. Правило одновременной подстановки

Пусть А доказуемая формула, x1,x2, …xn переменные B1..Bn любые формулы исчисления высказывания. Тогда результат одновременной подстановки в А вместо x1,x2, …xn соответственно формуло1 B1..Bn доказуемой формулой.

2. Правило сложного заключения

Применимо к формулам следующего вида:

(*)

И формулируется так:

Если формулы и (*) доказуемы, то и формула L доказуема.

3. Правило силлогизма

4. Правило контрапозиции

5. Правило снятия двойного отрицания

Вопрос №6. Понятие выводимости формул из совокупности формул

Будем рассматривать конечную совокупность формул H={A1,A2,…,An}

Определение формулы выводимой из совокупности H

1. Всякая формула Aj ϵ H является формулой, выводимой из H;

2. Всякая доказуемая формула выводима из H;

3. Если формулы С, С->B выводимы из H, то В также выводима из H;

Вопрос №7. Понятие вывода.

Выводом из конечной совокупности формул Н называется всякая конечная последовательность формул В1,В2,..Вn, всякий член которой удовлетворяет одному из условий:

1. Он является одной из формул совокупности Н

2. ОН является доказуемой формулой

3. Он получается по правилу заключения из двух любых предыдущих членов последовательности B1.B2...Bn

Вопрос №8. Правило выводимости.

Пусть H и W – это 2 совокупности формул ИВ. Будем понимать, что идет объединение этих множеств.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. Теорема дедукции

Обобщение теоремы дедукции:

6. Правило выделения конъюнкции:

7. Правило выделения дизъюнкции:

8. Правило соединения посылок:

9. Правило разъединения посылок:

Вопрос №9. Связь между алгеброй высказываний и исчислением высказываний.

Связь между алгеброй высказываний и исчислением высказываний (формулировка теорем).

Теорема1. Каждая формула, доказуемая в ИВ, тождественно истина в АВ.

Теорема2.О выводимости.

Пусть А-некоторая формула ИВ; х1,х2..хn - набор переменных, содержащий все переменные входящие в А; i1,i2...in - произвольный фиксированный набор значений этих переменных. Обозначим через H конечную совокупность формул:

Если Ri1,i2,in (значение А на одном наборе значений переменных)=1, то выводима из H, если =0, то не(наверху палочка)A выводима из H.

Теорема3.Каждая тождественно истинная формула алгебры высказываний, доказуема в исчислении высказываний.