1. Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку. Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях.

Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I.

Игроки	B1	B2	B3	a = min(Ai)
A1	-2	-3	-2	-3
A2	-4	-3	-4	-4
A3	5	5	-3	-3
b = max(Bi)	5	5	-2

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(a_i) = -3, которая указывает на максимальную чистую стратегию A₁.

Верхняя цена игры b = min(b_j) = -2.

Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах -3 ≤ y ≤ -2. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии).

2. Проверяем платежную матрицу на доминирующие строки и доминирующие столбцы.

Иногда на основании простого рассмотрения матрицы игры можно сказать, что некоторые чистые стратегии могут войти в оптимальную смешанную стратегию лишь с нулевой вероятностью.

Говорят, что i-я стратегия 1-го игрока доминирует его k-ю стратегию, если a_ij ≥ a_kj для всех j Э N и хотя бы для одного j a_ij > a_kj. В этом случае говорят также, что i-я стратегия (или строка) – доминирующая, k-я – доминируемая.

Говорят, что j-я стратегия 2-го игрока доминирует его l-ю стратегию, если для всех j Э M a_ij ≤ a_il и хотя бы для одного i a_ij < a_il. В этом случае j-ю стратегию (столбец) называют доминирующей, l-ю – доминируемой.

Стратегия A₁ доминирует над стратегией A₂ (все элементы строки 1 больше или равны значениям 2-ой строки), следовательно исключаем 2-ую строку матрицы. Вероятность p₂ = 0.

-2	-3	-2
5	5	-3

С позиции проигрышей игрока В стратегия B₁ доминирует над стратегией B₂ (все элементы столбца 1 больше элементов столбца 2), следовательно исключаем 1-й столбец матрицы. Вероятность q₁ = 0.

-3	-2
5	-3

Мы свели игру 3 x 3 к игре 2 x 2.

Так как игроки выбирают свои чистые стратегии случайным образом, то выигрыш игрока I будет случайной величиной. В этом случае игрок I должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы получить максимальный средний выигрыш.

Аналогично, игрок II должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы минимизировать математическое ожидание игрока I.

В матрице присутствуют отрицательные элементы. Для упрощения расчетов добавим к элементам матрицы (3). Такая замена не изменит решения игры, изменится только ее цена (по теореме фон Неймана).

0	1
8	0

3. Находим решение игры в смешанных стратегиях.

Решим задачу геометрическим методом, который включает в себя следующие этапы:

1. В декартовой системе координат по оси абсцисс откладывается отрезок, длина которого равна 1. Левый конец отрезка (точка х = 0) соответствует стратегии A₁, правый - стратегии A₂ (x = 1). Промежуточные точки х соответствуют вероятностям некоторых смешанных стратегий S₁ = (p₁,p₂).

2. На левой оси ординат откладываются выигрыши стратегии A₁. На линии, параллельной оси ординат, из точки 1 откладываются выигрыши стратегии A₂.

Решение игры (2 x n) проводим с позиции игрока A, придерживающегося максиминной стратегии. Доминирующихся и дублирующих стратегий ни у одного из игроков нет.

Максиминной оптимальной стратегии игрока A соответствует точка N, лежащая на пересечении прямых B₁B₁ и B₂B₂, для которых можно записать следующую систему уравнений:

y = 0 + (8 - 0)p₂

y = 1 + (0 - 1)p₂

Откуда

p₁ = ⁸/₉

p₂ = ¹/₉

Цена игры, y = ⁸/₉

Теперь можно найти минимаксную стратегию игрока B, записав соответствующую систему уравнений

q₂ = y

8q₁ = y

q₁+q₂ = 1

или

q₂ = ⁸/₉

8q₁ = ⁸/₉

q₁+q₂ = 1

Решая эту систему, находим:

q₁ = ¹/₉.

q₂ = ⁸/₉.

Поскольку ранее к элементам матрицы было прибавлено число (3), то вычтем это число из цены игры.

Цена игры: y = ⁸/₉ - 3 = ^-19/₉

Ответ:

Цена игры: y = ^-19/₉, векторы стратегии игроков:

Q(¹/₉, ⁸/₉), P(⁸/₉, ¹/₉)

4. Проверим правильность решения игры с помощью критерия оптимальности стратегии.

∑a_ijq_j ≤ v

∑a_ijp_i ≥ v

M(P₁;Q) = (-3•¹/₉) + (-2•⁸/₉) = -2.111 = v

M(P₂;Q) = (5•¹/₉) + (-3•⁸/₉) = -2.111 = v

M(P;Q₁) = (-3•⁸/₉) + (5•¹/₉) = -2.111 = v

M(P;Q₂) = (-2•⁸/₉) + (-3•¹/₉) = -2.111 = v

Все неравенства выполняются как равенства или строгие неравенства, следовательно, решение игры найдено верно.

Поскольку из исходной матрицы были удалены строки и столбцы, то найденные векторы вероятности можно записать в виде:

P(⁸/₉,0,¹/₉)

Q(0,¹/₉,⁸/₉)

Задание 7.

Пусть для некоторого комплекса работ установлены оценки для каждой работы на уровне нормативных продолжительностей и срочного режима, а также даны стоимости. Информация представлена в таблице.

Таблица 1.

	Нормативный режим		Срочный режим
	Продолжительность, дни	Стоимость, м/р	Продолжительность, дни	Стоимость, м/р
(1,2)	3	6	2	11
(1,3)	5	8	3	12
(1,4)	4	7	8	9
(2,5)	10	25	8	30
(3,5)	8	20	6	24
(3,6)	15	26	12	30
(4,6)	13	24	10	30
(5,7)	3	15	6	25
(6,7)	4	10	3	15

Построить график данного комплекса работ.

Требуется рассчитать:

• временные характеристики сетевого графика при нормальном режиме работ;

• найти критический путь;

• полные резервы времени;                                                                                              

• временные характеристики сетевого графика при срочном режиме работ;

• найти критический путь;

• полные резервы времени;                                                                                          

• определить стоимость работ.

Решение: Рассчитаем временные характеристики для нормативного режима. К временным характеристикам относятся ранние и поздние сроки наступления события. Ранний срок наступления события рассчитывается по формуле: tp(j) =mac (( t p ( i) +t ( ij )), где t p ( j) –ранний срок наступления предшествующего I события. t ( ij )- работа. Для расчёта t p ( j) для данного комплекса будем считать, что ранний срок наступления 1-го события равно tp(1)=0, тогда для последующих событий будем иметь: t p(1)= ma х (tp(1)=0) t p(2)= ma х (tp(1)+ tp(1,2)) =0+3=3 t p(3)= ma х ((tp(1)+ tp(1,3))=0+5=5 t p(4)= ma х (tp(1)+ tp(1,4))=0+4=4 t p(5)= ma х ((tp(4)+ tp(4,5)) =(2+10);(5+9)=14 t p(6)= ma х (tp(4)+ tp(4,6); tp(3)+ tp(3,6))=(4+13):(5+15)=20 t p(7)= ma х (tp(5)+ tp(5,7); tp(6)+ tp(6,7)=(14+8)(20+4)=24.                                                           

Очевидно, завершающее 7-е событие может наступить через 24 дня от начала выполнения всего комплекса работ. Поздний срок наступления события определяется по формуле: tп( i )=min (tп(j)-t(ij))

Для расчёта t п( i) для комплекса будем считать, что самый поздний срок наступления 7-го события равен 24 дня, т.е. раннему сроку наступления 7-го события, тогда будем иметь: tп(7)=min(24) =24 tп(6)=min(tп(7) - t(5,7)=(24-4)=20 tп(5)=min(24-4)=20 tп(4)=min(20-13)=7 tп(3)=min((16-9);(20-15) =5 tп(2)= min (16-10)=6 tп(1)= min (6-3; 5-5;7-4)=0 Полученный результат говорит о том, что расчёты произведены правильно. Резервы времени определяем как разность между поздними и ранними сроками по формуле: Р(i)=tp(j) - t п (i) Р(1) =0-0=0 Р(2)=6-3=3 Р(3)=5-5=0 Р(4)=7-4=3 Р(5)=16-12=2 Р(6)=20-20=0 Р(7)=24-24=0

Полученные резервы времени показывают на какое время можно задержать наступление того или иного события, не вызывая опасности срыва выполнения комплекса работ. Те события, которые не имеют резервов времени, находятся на критическом пути. Критический путь это наиболее продолжительный путь сетевого графика, который ведёт к завершению комплекса работ. Находим пути и их длительности для данного комплекса работ: 1) 1-2-5-7  его стоимость: 3+10+8=21. 2) 1-3-5-7  его стоимость 5+9+8=22 3) 1-3-6-7.  его стоимость: 5+15+4=24 4) 1-4-6-7.   его стоимость: 4+13+4=21. Критический путь: (1,3)-(3,6)-(6,7) Резервы времени для работ, находящихся на критическом пути равны нулю. (1,3)=0;   (3,6)=0;    (6,7)=0, Рассчитаем временные характеристики сетевого графика при срочном режиме работ. Ранний срок наступления события рассчитывается по формуле: tp(j) =maх((tp(i) +t(ij)), где tp(j) –ранний срок наступления предшествующего I события. t(ij )- работа.

Для расчёта t p ( j) для данного комплекса будем считать, что ранний срок наступления 1-го события равно tp(1)=0, тогда для последующих событий будем иметь: tp(1)= maх (t p(1)=0 tp(2)= maх (tp(1)+ tp(1,2)) =0+2=2 tp(3)= maх ((tp(1)+ tp(1,3))=0+3=3 tp(4)= maх (tp(1)+ tp(1,4))=0+8=8 tp(5)= maх ((tp(4)+ tp(4,5)) =(2+8);(3+6)=10 tp(6)= maх (tp(2)+ tp(2,5); tp(3)+ t p(4,6))=(3+12):(8+10)=18 tp(7)= maх (tp(5)+ tp(5,7); tp(6)+ t p(6,7)=(15+3);(18+3)=21.                                                            Очевидно, завершающее 7-е событие может наступить через 21 день от начала выполнения всего комплекса работ. Поздний срок наступления события определяется по формуле: tп(7)=min(22) =24 tп(6)=min( t п (7)- t(5,7)=(21-3)=18 tп(5)=min(21-6)=15 tп(4)=min(18-10)=8 tп(3)=min((16-6);(19-15) =4 tп(2)= min (15-8)=7 tп(1)= min (15-2; 20-8;8-8)=0

Полученный результат говорит о том, что расчёты произведены правильно. Резервы времени определяем как разность между поздними и ранними сроками по формуле: Р(i) =t p( j ) - t п (i) Р(1) =0-0 =0 Р(2)=7-2=5 Р(3)=8-8=14 Р(4)=8-8 =0 Р(5)=12-8=4 Р(6)=18-18=0 Р(7)=22-22= 0 Найдём все пути: и их длительности. 1) 1-2-5-7 его стоимость: 3+8+6=16. 2) 1-3-5-7 его стоимость 3+6+6=15 3) 1-3-6-7. его стоимость:3+12+3=18 4) 1-4-6-7. его стоимость: 8+10+3=21. Очевидно, что на критическом пути резервов времени нет. Критический путь (1-3-6-7). Его длительность равна 21.