- •4. Пересчет симплекс-таблицы.
- •4. Пересчет симплекс-таблицы.
- •4. Пересчет симплекс-таблицы.
- •4. Пересчет симплекс-таблицы.
- •4. Пересчет симплекс-таблицы.
- •1. Проверка критерия оптимальности.
- •4. Пересчет симплекс-таблицы.
- •4. Пересчет симплекс-таблицы.
- •4. Пересчет симплекс-таблицы.
- •4. Пересчет симплекс-таблицы.
- •4. Пересчет симплекс-таблицы.
- •1. Проверка критерия оптимальности.
1. Проверка критерия оптимальности.
Среди значений индексной строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.
Окончательный вариант симплекс-таблицы:
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x9 |
x10 |
x11 |
x12 |
x9 |
105/4 |
0 |
0 |
0 |
3/8 |
0 |
-1/4 |
0 |
1/8 |
1 |
0 |
-1/8 |
-1 |
x5 |
105/4 |
0 |
0 |
0 |
-13/8 |
1 |
3/4 |
0 |
17/8 |
0 |
0 |
-17/8 |
0 |
x7 |
45/2 |
0 |
0 |
0 |
-1/4 |
0 |
1/2 |
1 |
5/4 |
0 |
-1 |
-5/4 |
0 |
x1 |
225/2 |
1 |
0 |
0 |
-1/4 |
0 |
1/2 |
0 |
5/4 |
0 |
0 |
-5/4 |
0 |
x2 |
70 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
x3 |
345/4 |
0 |
0 |
1 |
3/8 |
0 |
-1/4 |
0 |
1/8 |
0 |
0 |
-1/8 |
0 |
F(X6) |
19075 |
0 |
0 |
0 |
21/2 |
0 |
25 |
0 |
371/2 |
0 |
M |
-371/2+M |
M |
Так как в оптимальном решении отсутствуют искусственные переменные (они равны нулю), то данное решение является допустимым.
Оптимальный план можно записать так:
x1 = 1121/2
x2 = 70
x3 = 861/4
F(X) = 80•1121/2 + 70•70 + 60•861/4 = 19075
Анализ оптимального плана.
В оптимальный план вошла дополнительная переменная x9. Следовательно, при реализации такого плана имеются недоиспользованные ресурсы 1-го вида в количестве 261/4
В оптимальный план вошла дополнительная переменная x5. Следовательно, при реализации такого плана имеются недоиспользованные ресурсы 2-го вида в количестве 261/4
В оптимальный план вошла дополнительная переменная x7. Следовательно, при реализации такого плана имеются недоиспользованные ресурсы 3-го вида в количестве 221/2
Значение 0 в столбце x1 означает, что использование x1 - выгодно.
Значение 0 в столбце x2 означает, что использование x2 - выгодно.
Значение 0 в столбце x3 означает, что использование x3 - выгодно.
Значение 21/2 в столбце x4 означает, что теневая цена (двойственная оценка) равна 21/2.
Значение 25 в столбце x6 означает, что теневая цена (двойственная оценка) равна 25.
Значение 371/2 в столбце x8 означает, что теневая цена (двойственная оценка) равна 371/2.
Значение 0+1M в столбце x10 означает, что теневая цена (двойственная оценка) равна 0+1M.
Значение -371/2+1M в столбце x11 означает, что теневая цена (двойственная оценка) равна -371/2+1M.
Значение 0+1M в столбце x12 означает, что теневая цена (двойственная оценка) равна 0+1M.
При увеличении запасов дефицитных ресурсов имеем:
F(X) = 80x1+70x2+60x3 при следующих условиях-ограничений.
2x1+3x2+4x3≤819
x1+4x2+5x3≤850
3x1+4x2+2x3≤829.5
x1≥90
x2≥70
x3≥60
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x4. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x5. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x6. В 4-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x7 со знаком минус. В 5-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x8 со знаком минус. В 6-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x9 со знаком минус.
2x1 + 3x2 + 4x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7 + 0x8 + 0x9 = 819
1x1 + 4x2 + 5x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 + 0x7 + 0x8 + 0x9 = 850
3x1 + 4x2 + 2x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 + 0x7 + 0x8 + 0x9 = 829.5
1x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6-1x7 + 0x8 + 0x9 = 90
0x1 + 1x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7-1x8 + 0x9 = 70
0x1 + 0x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7 + 0x8-1x9 = 60
Введем искусственные переменные x: в 4-м равенстве вводим переменную x10; в 5-м равенстве вводим переменную x11; в 6-м равенстве вводим переменную x12;
2x1 + 3x2 + 4x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7 + 0x8 + 0x9 + 0x10 + 0x11 + 0x12 = 819
1x1 + 4x2 + 5x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 + 0x7 + 0x8 + 0x9 + 0x10 + 0x11 + 0x12 = 850
3x1 + 4x2 + 2x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 + 0x7 + 0x8 + 0x9 + 0x10 + 0x11 + 0x12 = 829.5
1x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6-1x7 + 0x8 + 0x9 + 1x10 + 0x11 + 0x12 = 90
0x1 + 1x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7-1x8 + 0x9 + 0x10 + 1x11 + 0x12 = 70
0x1 + 0x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7 + 0x8-1x9 + 0x10 + 0x11 + 1x12 = 60
Для постановки задачи на максимум целевую функцию запишем так:
F(X) = 80x1+70x2+60x3 - Mx10 - Mx11 - Mx12 → max
За использование искусственных переменных, вводимых в целевую функцию, накладывается так называемый штраф величиной М, очень большое положительное число, которое обычно не задается.
Полученный базис называется искусственным, а метод решения называется методом искусственного базиса.
Причем искусственные переменные не имеют отношения к содержанию поставленной задачи, однако они позволяют построить стартовую точку, а процесс оптимизации вынуждает эти переменные принимать нулевые значения и обеспечить допустимость оптимального решения.
Из уравнений выражаем искусственные переменные:
x10 = 90-x1+x7
x11 = 70-x2+x8
x12 = 60-x3+x9
которые подставим в целевую функцию:
F(X) = 80x1 + 70x2 + 60x3 - M(90-x1+x7) - M(70-x2+x8) - M(60-x3+x9) → max
или
F(X) = (80+M)x1+(70+M)x2+(60+M)x3+(-M)x7+(-M)x8+(-M)x9+(-220M) → max
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:
2 |
3 |
4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
4 |
5 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
4 |
2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
1 |
Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.
Экономический смысл дополнительных переменных: дополнительные перемены задачи ЛП обозначают излишки сырья, времени, других ресурсов, остающихся в производстве данного оптимального плана.
Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x4, x5, x6, x10, x11, x12
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
X1 = (0,0,0,819,850,829.5,0,0,0,90,70,60)
Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.
Базис |
В |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x9 |
x10 |
x11 |
x12 |
x4 |
819 |
2 |
3 |
4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
x5 |
850 |
1 |
4 |
5 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
x6 |
829.5 |
3 |
4 |
2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
x10 |
90 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
x11 |
70 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
x12 |
60 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
1 |
F(X0) |
-220M |
-80-M |
-70-M |
-60-M |
0 |
0 |
0 |
M |
M |
M |
0 |
0 |
0 |
Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Итерация №0.
1. Проверка критерия оптимальности.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
2. Определение новой базисной переменной.
В индексной строке F(x) выбираем максимальный по модулю элемент. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент по модулю.
3. Определение новой свободной переменной.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1
и из них выберем наименьшее:
Следовательно, 4-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (1) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис |
В |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x9 |
x10 |
x11 |
x12 |
min |
x4 |
819 |
2 |
3 |
4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
409.5 |
x5 |
850 |
1 |
4 |
5 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
850 |
x6 |
829.5 |
3 |
4 |
2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
276.5 |
x10 |
90 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
90 |
x11 |
70 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
- |
x12 |
60 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
1 |
- |
F(X1) |
-220M |
-80-M |
-70-M |
-60-M |
0 |
0 |
0 |
M |
M |
M |
0 |
0 |
0 |
0 |